Radice reale di una funzione
Salve, sto provando a fare qualche problema dato agli esami di stato degli anni scorsi. Un problema mi chiedeva di dimostrare che l'equazione $f(x)=x^2/2(3-2logx)+1$ nell'intervallo $[0;inf]$ ha una sola radice reale.
Non sapendo come fare, ho visto che alcune soluzioni portavano la funzione nella forma $(3x^2+2)/(2x^2)=logx$. Da qui hanno poi risolto graficamente che, dato che le due equazioni si incontrano in un punto 4
Mi chiedevo, come faccio a tracciare istintivamente la curva $(3x^2+2)/(2x^2)$ e come a faccio a stabilire un valore a?
Grazie a tutti e ciao...
Non sapendo come fare, ho visto che alcune soluzioni portavano la funzione nella forma $(3x^2+2)/(2x^2)=logx$. Da qui hanno poi risolto graficamente che, dato che le due equazioni si incontrano in un punto 4
Mi chiedevo, come faccio a tracciare istintivamente la curva $(3x^2+2)/(2x^2)$ e come a faccio a stabilire un valore a?
Grazie a tutti e ciao...
Risposte
$(3x^2+2)/(2x^2)=3/2+1/x^2$
$f(x)=x^2/2(3-2logx)+1$ nell'intervallo $[0;inf]$ ha una sola radice reale.
innanzitutto guarda a conti fatti che $lim_(xto0)f(x)=-oo$ e $lim_(xto+oo)f(x)=+oo$
poi prova a vedere $f'(x)=x(3-2logx)-x=2(x-logx)
ipotizziamo per assurdo che $f(x)$ ammetta due radici reali, $x_1,x_2$, per in teorema di rolle, se esistono $x_1,x_2$ tc $f(x_1)=f(x_2)=0$ allora deve esistere un punto $x_0in[x_1,x_2]$ tc $f'(x_0)=0$
quindi studiamo il segno della derivata prima: $2(x-logx)>0;x>logx$ e questa disequazione è verificat sempre, quindi scopriamo che la derivata prima non si annulla mai... quindi non esiste il punto $x_0$ tc $f'(x_0)=0$, segue che non esistono neanche i due punti $x_1,x_2$, ma dal momento che f(x) è monotona crescente e va da -inf a +inf, segue che ha per forza uno e un solo zero.
trovato che la radice reale $x_ain [4,5]$ per trovare un valore approssimato di $x_a$ ti proporrei il sicuro e bel metodo di bisezione
innanzitutto guarda a conti fatti che $lim_(xto0)f(x)=-oo$ e $lim_(xto+oo)f(x)=+oo$
poi prova a vedere $f'(x)=x(3-2logx)-x=2(x-logx)
ipotizziamo per assurdo che $f(x)$ ammetta due radici reali, $x_1,x_2$, per in teorema di rolle, se esistono $x_1,x_2$ tc $f(x_1)=f(x_2)=0$ allora deve esistere un punto $x_0in[x_1,x_2]$ tc $f'(x_0)=0$
quindi studiamo il segno della derivata prima: $2(x-logx)>0;x>logx$ e questa disequazione è verificat sempre, quindi scopriamo che la derivata prima non si annulla mai... quindi non esiste il punto $x_0$ tc $f'(x_0)=0$, segue che non esistono neanche i due punti $x_1,x_2$, ma dal momento che f(x) è monotona crescente e va da -inf a +inf, segue che ha per forza uno e un solo zero.
trovato che la radice reale $x_ain [4,5]$ per trovare un valore approssimato di $x_a$ ti proporrei il sicuro e bel metodo di bisezione
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