"Assurdi"
Vorrei raggruppare, in base a quelli che ognuno di voi ricorda, i principali "assurdi" matematici. Ce ne sono alcuni banalmente "sgamabili" dove c'è una divisione nascosta per zero, ad esempio, o trucchi del genere; altri dove bisogna pensare di più.
Studiando sul libro di testo ne ho trovato uno di cui non conosco ancora "il perché" (forse qualcuno riesce a trovarlo?).
Ad ogni modo sarei interessato a vederne qualcuno, magari anche legato al contesto infinitesimale (non ne ho mai visto uno).
Quello che avevo trovato è:
$-125=(-5)^3={[(-5)^3]^2}^(1/2)=sqrt((-5))^6=sqrt(5)^6=125$
Studiando sul libro di testo ne ho trovato uno di cui non conosco ancora "il perché" (forse qualcuno riesce a trovarlo?).
Ad ogni modo sarei interessato a vederne qualcuno, magari anche legato al contesto infinitesimale (non ne ho mai visto uno).
Quello che avevo trovato è:
$-125=(-5)^3={[(-5)^3]^2}^(1/2)=sqrt((-5))^6=sqrt(5)^6=125$
Risposte
[ot]mmmm esistono due definizione che fanno al caso nostro:
la seconda è certamente un caso particolare della prima, però il simbolo \( \sqrt[n]{a}\) va usato solo quando \( a>0\).[/ot]
radice n-esima
radice n-esima aritmetica
radice n-esima aritmetica
la seconda è certamente un caso particolare della prima, però il simbolo \( \sqrt[n]{a}\) va usato solo quando \( a>0\).[/ot]
@garnak.olegovitc
Scusami, ma allora che simbolo useresti per questo
(perché l'inversa di $x^3$ esiste ed esiste su tutto $RR$).
Cordialmente, Alex
Scusami, ma allora che simbolo useresti per questo
"giammaria":
Ne consegue che $ root(3)(-27)=-3 $
(perché l'inversa di $x^3$ esiste ed esiste su tutto $RR$).
Cordialmente, Alex
@axpgn,[ot]
[/quote] meglio scrivere \(-3^3=-27\) così facendo si dice che \(-3\) è radice \( 3-\text{esima}\) di \(-27\), e siccome \(-3 <0\) ed \( 3 \in 2\Bbb{N}+1\) allora \(\{x|x\in \Bbb{R} \wedge x \text{ è radice } 3-\text{esima di } -27\}=\{-\sqrt[3]{-(-27)}\}=\{-3\}\)...[/ot]
"axpgn":
@garnak.olegovitc
Scusami, ma allora che simbolo useresti per questo
[quote="giammaria"]Ne consegue che $ root(3)(-27)=-3 $
[/quote] meglio scrivere \(-3^3=-27\) così facendo si dice che \(-3\) è radice \( 3-\text{esima}\) di \(-27\), e siccome \(-3 <0\) ed \( 3 \in 2\Bbb{N}+1\) allora \(\{x|x\in \Bbb{R} \wedge x \text{ è radice } 3-\text{esima di } -27\}=\{-\sqrt[3]{-(-27)}\}=\{-3\}\)...[/ot]
Ma così scantoni ... non puoi partire dalla risposta ... e se non la conosci? e allora questa $root(3)(x)$? la definisci solo dopo che hai trovato la risposta ? o meglio come la scriveresti? Non sai a priori se $x$ è negativa o meno, e quindi?
Non la vedo così semplice se il radicando è complicato oppure posta in mezzo ad un'espressione non banale ...
Per ma la questione è semplice, come ha ben detto Epimenide, l'inversa esiste per tutto $RR$ oppure, detto in altro modo, quando ti trovi di fronte a $root(3)(x)$ non hai ambiguità, il C.E. è tutto $RR$.
No?
Cordialmente, Alex
Non la vedo così semplice se il radicando è complicato oppure posta in mezzo ad un'espressione non banale ...
Per ma la questione è semplice, come ha ben detto Epimenide, l'inversa esiste per tutto $RR$ oppure, detto in altro modo, quando ti trovi di fronte a $root(3)(x)$ non hai ambiguità, il C.E. è tutto $RR$.
No?
Cordialmente, Alex
@axpgn,[ot]
P.S.=Io non metto in discussione quanto detto da Epimenide, metto in discussione l'uso del simbolo \(\sqrt[n]{\;\;}\)!![/ot]
"axpgn":non è questione di risposta o di scantonare; facciamo così, dammi la definizione del simbolo \( \sqrt[n]{a}\), e poi ho già detto che \(\sqrt[3]{x}\) per me a senso solo quando \(x>0\), quello che faccio è concentrarmi sulla definizione di radice n-esima e poi vedere se questa è anche radice n-esima aritmetica (e se lo è allora l'uso del simbolo con la radice per me è giustificato)
Ma così scantoni ... non puoi partire dalla risposta ... e se non la conosci? e allora questa $root(3)(x)$? la definisci solo dopo che hai trovato la risposta ? o meglio come la scriveresti? Non sai a priori se $x$ è negativa o meno, e quindi?
Non la vedo così semplice se il radicando è complicato oppure posta in mezzo ad un'espressione non banale ...
P.S.=Io non metto in discussione quanto detto da Epimenide, metto in discussione l'uso del simbolo \(\sqrt[n]{\;\;}\)!![/ot]
"garnak.olegovitc":
P.S.=Io non metto in discussione quanto detto da Epimenide, metto in discussione l'uso del simbolo \(\sqrt[n]{\;\;}\)!!
E quindi che simbolo usi? Lo vedi che scantoni?
La tua definizione presuppone di conoscere se il radicando è negativo o meno altrimenti sei costretto a sdoppiare la definizione (e la funzione), una complicazione inutile quando invece è sufficiente quello che viene normalmente insegnato e cioè che $root(n)()$ è la radice ennesima di qualsiasi reale se $n$ dispari, mentre se è pari il C.E. è $x>=0$.
@axpgn,[ot]
1°: non so che significa "scantonare"!
2°: in che modo sdoppierei la definizioni o funzione?
3°: non ho mica detto che se \(x<0\) ed \(n \) è dispari allora \( \nexists y \in \Bbb{R}(y^3=x)\)!
Adesso voglio capire profondamente, e per completezza le definizioni che uso sono:
Def.1: siano dati \(a,b \in \Bbb{R}\), \(n \in \Bbb{N}-\{0\}\), dicesi che \( b \) è radice \(n-\text{esima}\) di \(a\) se $$b^n=a$$ Un noto teorema dice:
Prop.1: \(\forall a \in \Bbb{R}_{>0}(\exists!b \in \Bbb{R}_{>0}(b^n=a))\)
siccome \(b\) è unico allora si definisce
Def.2: siano dati \( a,b \in \Bbb{R}\), dicesi che \( b \) è radice \(n-\text{esima aritmetica}\) di \(a \), e si indica \(b\) con la scrittura \( \sqrt[n]{a}\), se $$b^n=a \wedge a>0 \wedge b>0$$ tu che definizione usi al posto della Def. 2 ? Io nei miei studi ho sempre visto la Def. 2 possibile solo grazie alla Prop.1[/ot]
"axpgn":
E quindi che simbolo usi? Lo vedi che scantoni?
La tua definizione presuppone di conoscere se il radicando è negativo o meno altrimenti sei costretto a sdoppiare la definizione (e la funzione), una complicazione inutile quando invece è sufficiente quello che viene normalmente insegnato e cioè che $root(n)()$ è la radice ennesima di qualsiasi reale se $n$ dispari, mentre se è pari il C.E. è $x>=0$.
1°: non so che significa "scantonare"!
2°: in che modo sdoppierei la definizioni o funzione?
3°: non ho mica detto che se \(x<0\) ed \(n \) è dispari allora \( \nexists y \in \Bbb{R}(y^3=x)\)!
Adesso voglio capire profondamente, e per completezza le definizioni che uso sono:
Def.1: siano dati \(a,b \in \Bbb{R}\), \(n \in \Bbb{N}-\{0\}\), dicesi che \( b \) è radice \(n-\text{esima}\) di \(a\) se $$b^n=a$$ Un noto teorema dice:
Prop.1: \(\forall a \in \Bbb{R}_{>0}(\exists!b \in \Bbb{R}_{>0}(b^n=a))\)
siccome \(b\) è unico allora si definisce
Def.2: siano dati \( a,b \in \Bbb{R}\), dicesi che \( b \) è radice \(n-\text{esima aritmetica}\) di \(a \), e si indica \(b\) con la scrittura \( \sqrt[n]{a}\), se $$b^n=a \wedge a>0 \wedge b>0$$ tu che definizione usi al posto della Def. 2 ? Io nei miei studi ho sempre visto la Def. 2 possibile solo grazie alla Prop.1[/ot]
Comincio col ricordarvi che in campo complesso il simbolo $root(n)a$ indica un insieme di $n$ numeri: se ne conclude che uno stesso simbolo può assumere significati diversi.
In campo reale, la mia definizione è molto semplice: "Dato un numero reale $a$, si dice sua radice ennesima il numero reale $b$ tale che $b^n=a$, purché esistente ed unico. Se non è unico, quello positivo". Regge perché se $b$ esiste uno ed uno solo dei valori possibili è positivo (o nullo, ma allora è unico).
Nulla vieta di accettare la definizione di garnak.olegovitc e la si può anche ritenere concettualmente migliore, ma la sconsiglierei vivamente perché contraria a quanto accettato da quasi tutti i libri e gli insegnanti: ad esempio, il campo di esistenza di $root(3)x$ viene sempre indicato come l'intero $RR$. Agire diversamente in una prova scritta sarebbe certo segnato come errore e non credo che il professore cambierebbe idea leggendo questo thread.
Accettare una definizione come la mia è una convenzione ma alcune convenzioni sono necessarie: pensate alla confusione che si creerebbe se decidessimo di scrivere diversamente le cifre, indicando con 7 il numero nove e viceversa. Come reagireste di fronte a $3^2=7$ ?
In campo reale, la mia definizione è molto semplice: "Dato un numero reale $a$, si dice sua radice ennesima il numero reale $b$ tale che $b^n=a$, purché esistente ed unico. Se non è unico, quello positivo". Regge perché se $b$ esiste uno ed uno solo dei valori possibili è positivo (o nullo, ma allora è unico).
Nulla vieta di accettare la definizione di garnak.olegovitc e la si può anche ritenere concettualmente migliore, ma la sconsiglierei vivamente perché contraria a quanto accettato da quasi tutti i libri e gli insegnanti: ad esempio, il campo di esistenza di $root(3)x$ viene sempre indicato come l'intero $RR$. Agire diversamente in una prova scritta sarebbe certo segnato come errore e non credo che il professore cambierebbe idea leggendo questo thread.
Accettare una definizione come la mia è una convenzione ma alcune convenzioni sono necessarie: pensate alla confusione che si creerebbe se decidessimo di scrivere diversamente le cifre, indicando con 7 il numero nove e viceversa. Come reagireste di fronte a $3^2=7$ ?
@garnak
Premesso che è un'affermazione scherzosa, scantonare significa "girarci intorno", "bypassare", "non affrontare", ...
Ho usato questa parola perché per due volte ti ho chiesto che simbolo useresti nel caso che sia $root(3)(x)$ con $x<0$ dato che hai affermato che tu non useresti mai quel simbolo in quel caso ... e sono ancora in attesa di risposta
Non ti ho chiesto la definizione di radice ennesima ma semplicemente quale simbolo useresti ...
Hai detto che sei d'accordo con Epimenide ma la definizione che hai dato non copre tutta l'inversa che pure esiste; ergo, di nuovo, in quel caso che simbolo useresti per indicare l'inversa di $x^3$? Solo questo ti chiedo ...
Sul "Soardi - Analisi Matematica" ho trovato questa definizione "... Esaminiamo ora le radici dei numeri reali negativi. ... Sia $alpha>0$. Supponiamo $n=2k+1$ dispari e sia $beta>0$ tale che $beta^(2k+1)=alpha$. Allora $(-beta)^(2k+1)=-alpha$. Il numero $-beta$ [che è negativo (nota mia)] viene ancora chiamato radice $n$-esima di $-alpha$ [che è negativo (nota mia)] e viene indicato con il simbolo $root(n)(-alpha)$. ...". Che ne pensi?
Cordialmente, Alex
Premesso che è un'affermazione scherzosa, scantonare significa "girarci intorno", "bypassare", "non affrontare", ...
Ho usato questa parola perché per due volte ti ho chiesto che simbolo useresti nel caso che sia $root(3)(x)$ con $x<0$ dato che hai affermato che tu non useresti mai quel simbolo in quel caso ... e sono ancora in attesa di risposta
Non ti ho chiesto la definizione di radice ennesima ma semplicemente quale simbolo useresti ...
Hai detto che sei d'accordo con Epimenide ma la definizione che hai dato non copre tutta l'inversa che pure esiste; ergo, di nuovo, in quel caso che simbolo useresti per indicare l'inversa di $x^3$? Solo questo ti chiedo ...
Sul "Soardi - Analisi Matematica" ho trovato questa definizione "... Esaminiamo ora le radici dei numeri reali negativi. ... Sia $alpha>0$. Supponiamo $n=2k+1$ dispari e sia $beta>0$ tale che $beta^(2k+1)=alpha$. Allora $(-beta)^(2k+1)=-alpha$. Il numero $-beta$ [che è negativo (nota mia)] viene ancora chiamato radice $n$-esima di $-alpha$ [che è negativo (nota mia)] e viene indicato con il simbolo $root(n)(-alpha)$. ...". Che ne pensi?
Cordialmente, Alex
Mi pare che ormai tutti (anche io) abbiano espresso chiaramente la loro opinione. Per ora non blocco perché la discussione è in termini più che accettabili; invito però tutti a pochi e brevi interventi sulle radici.
Piuttosto, non sarebbe meglio tornare alla domanda iniziale? Luca aveva chiesto alcuni "assurdi" matematici.
Piuttosto, non sarebbe meglio tornare alla domanda iniziale? Luca aveva chiesto alcuni "assurdi" matematici.
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