"Assurdi"
Vorrei raggruppare, in base a quelli che ognuno di voi ricorda, i principali "assurdi" matematici. Ce ne sono alcuni banalmente "sgamabili" dove c'è una divisione nascosta per zero, ad esempio, o trucchi del genere; altri dove bisogna pensare di più.
Studiando sul libro di testo ne ho trovato uno di cui non conosco ancora "il perché" (forse qualcuno riesce a trovarlo?).
Ad ogni modo sarei interessato a vederne qualcuno, magari anche legato al contesto infinitesimale (non ne ho mai visto uno).
Quello che avevo trovato è:
$-125=(-5)^3={[(-5)^3]^2}^(1/2)=sqrt((-5))^6=sqrt(5)^6=125$
Studiando sul libro di testo ne ho trovato uno di cui non conosco ancora "il perché" (forse qualcuno riesce a trovarlo?).
Ad ogni modo sarei interessato a vederne qualcuno, magari anche legato al contesto infinitesimale (non ne ho mai visto uno).
Quello che avevo trovato è:
$-125=(-5)^3={[(-5)^3]^2}^(1/2)=sqrt((-5))^6=sqrt(5)^6=125$
Risposte
\( \sqrt{x^2} = \lvert x \rvert \)
$ -125=(-5)^3={[(-5)^3]^2}^(1/2)=sqrt((-5))^6=sqrt(5)^6=125 $
Se vuoi applicare le proprietà delle potenze reali non puoi partire da una base minore di $0$, se no appunto rischi di imbatterti in questi "assurdi", che tanto assurdi non sono, in quanto qualsiasi potenza reale in base $a$ per definizione è definita in $a>=0$, ciò non vuol dire per esempio che non esista la radice cubica di $-27$, ma solo che "non conviene" applicarci le proprietà delle potenze, pena la caduta in assurdo.
Ecco un "assurdo" postato da me abbastanza recentemente, riguarda per l'appunto le proprietà delle potenze reali, come in questa caso.
viewtopic.php?f=47&t=133663
viewtopic.php?f=47&t=133663
Naturalmente gli assurdi nascono dall'aver applicato malamente qualche proprietà. Te ne do uno in goniometria: una stessa equazione che, risolta in due modi diversi, dà risultati diversi. L'equazione è
$tan(x-45°)=1$
I metodo
Risolvo direttamente:
$x-45°=45°+k*180" "->" "x=90°+k*180°$
II metodo
Applico la formula di somma
$(tanx-tan45°)/(1+tanxtan45°)=1" "->" "(tanx-1)/(1+tanx)=1$
$tanx-1=1+tanx" "->" "0=2$ impossibile.
Non mi sembra però una domanda adatta a questa sezione e quindi sposto in Secondaria di II grado, preferendola a Giochi matematici.
$tan(x-45°)=1$
I metodo
Risolvo direttamente:
$x-45°=45°+k*180" "->" "x=90°+k*180°$
II metodo
Applico la formula di somma
$(tanx-tan45°)/(1+tanxtan45°)=1" "->" "(tanx-1)/(1+tanx)=1$
$tanx-1=1+tanx" "->" "0=2$ impossibile.
Non mi sembra però una domanda adatta a questa sezione e quindi sposto in Secondaria di II grado, preferendola a Giochi matematici.
"Vulplasir":
ciò non vuol dire per esempio che non esista la radice cubica di $-27$, ma solo che "non conviene" applicarci le proprietà delle potenze, pena la caduta in assurdo.
Giusto, ma è opportuno precisare meglio, dicendo che per definizione esiste $root(3)(-27)$ mentre non esiste $(-27)^(1/3)$: le basi negative possono essere elevate solo ad esponenti interi. Quasi tutte le calcolatrici (ed anche alcuni programmi per calcolatori) ammettono qualche eccezione ma solo "qualche": ad esempio, la mia calcolatrice accetta $(-27)^(1/3)$ ma rifiuta $(-27)^(2/3)$.
le basi negative possono essere elevate solo ad esponenti interiNon mi trovo d'accordo, secondo me la base, qualsiasi sia l'esponente, deve essere positiva o nulla se la si vuole utilizzare in calcoli algebrici utilizzando le proprietà delle potenze. eg: $(-2)^3=(-2)^(6/2)=sqrt((-2)^6)=sqrt(64)=8$...che per l'appunto è identico al caso proposto da @Luca, questo vale anche per basi come $1/3$ et similia, anche se non sono di ordine pari, nonostante la calcolatrice le dia per buone.
E quindi come la mettiamo con l'equazione $root(3)(x)=-3$?
Non ha soluzioni reali?
... o non è algebra?
Cordialmente, Alex
Non ha soluzioni reali?
... o non è algebra?Cordialmente, Alex
E quindi come la mettiamo con l'equazione x√3=−3
Semplicemente non ha soluzioni reali, non è definita.
"Vulplasir":
Semplicemente non ha soluzioni reali, non è definita.
... mmm ... perplesso ...
Graph me la disegna ... e pure Excel la calcola (per quello che conta
)Cordialmente, Alex
"Vulplasir":
secondo me la base, qualsiasi sia l'esponente, deve essere positiva o nulla se la si vuole utilizzare in calcoli algebrici utilizzando le proprietà delle potenze
Che le basi negative siano pericolose è innegabile, ed effettivamente ho visto un testo (ma uno solo su moltissimi) che le rifiutava, affermando che $root(3)(-27)$ è una formula priva di significato. Quasi tutti gli autori ammettono però che con indici dispari il radicando possa essere negativo e che la predetta formula dia $-3$, poiché $(-3)^3=-27$.
Quanto al tuo controesempio, l'errore è nel primo passaggio, cioè in
$(-2)^3=(-2)^(6/2)$
perché $6/2$ è una frazione; è uguale ad un numero intero, ma non è un intero e quindi non può essere l'esponente di una potenza con base negativa.
Ho notato che a riguardo Wolfram Alpha fa una differenza tra "principal root" e "real-valued root"...di fatti in "principal root" $root(3)(x)=-3$ non ha soluzione e il grafico di $y=root(3)(x)$ è disegnato solo per $x>=0$
Evidentemente quando provo ad essere sintetico non vengo cagato, poi non lamentatevi se sono logorroico 
Siamo in \(\mathbb{R}\), quindi spero che nessuno abbia da ridire su quanto ho già scritto.
Sarete altrettanto d'accordo che, \(\forall x \in \mathbb{R}, \ x > 0\)
\[
-x \ne \sqrt{(-x)^2} = \lvert x \rvert = x
\]
Nella fattispecie abbiamo \(x = 125\) scritto fantasiosamente come \(\displaystyle 5^3 \) ma il fatto è sempre che:
\[
\begin{split}
-125 \ne \sqrt{(-125)^2} = \lvert - 125 \rvert = 125 \\
{\rm o \ se \ preferite}\\
-125 = (-5)^3 \ne \sqrt{[(-5)^3]^2} = \lvert (-5)^3 \rvert = 5^3 = 125 \\
\end{split}
\]
nessun assurdo, nessuna convenzione inusuale e nessuna discussione fondazionale sulla definizione delle potenze ad esponente razionale, si tratta di una semplice applicazione delle proprietà di calcolo in \(\mathbb{R}\) che nell'OP viene totalmente ignorata. Secondo me vi state a complicare la vita inutilmente.
"Epimenide93":
\( \sqrt{x^2} = \lvert x \rvert \)
Siamo in \(\mathbb{R}\), quindi spero che nessuno abbia da ridire su quanto ho già scritto.
Sarete altrettanto d'accordo che, \(\forall x \in \mathbb{R}, \ x > 0\)
\[
-x \ne \sqrt{(-x)^2} = \lvert x \rvert = x
\]
Nella fattispecie abbiamo \(x = 125\) scritto fantasiosamente come \(\displaystyle 5^3 \) ma il fatto è sempre che:
\[
\begin{split}
-125 \ne \sqrt{(-125)^2} = \lvert - 125 \rvert = 125 \\
{\rm o \ se \ preferite}\\
-125 = (-5)^3 \ne \sqrt{[(-5)^3]^2} = \lvert (-5)^3 \rvert = 5^3 = 125 \\
\end{split}
\]
nessun assurdo, nessuna convenzione inusuale e nessuna discussione fondazionale sulla definizione delle potenze ad esponente razionale, si tratta di una semplice applicazione delle proprietà di calcolo in \(\mathbb{R}\) che nell'OP viene totalmente ignorata. Secondo me vi state a complicare la vita inutilmente.
A dir la verità, adesso si stava parlando di radice terza ed indici dispari (della radice) ...
"axpgn":
A dir la verità, adesso si stava parlando di radice terza ed indici dispari (della radice) ...
Lo vedo, ma non capisco le ragioni dello stare a sindacare l'esistenza a valori negativi di funzioni bîettive. Quand'è il caso le si restringe.
Se non ho capito male dai per scontato che esistano (anch'io) ma c'è che chi non la pensa come te ...
Ma non è una questione soggettiva, è analisi! Si ha che \(x \mapsto x^n\) con \(n\) naturale dispari è una funzione bîettiva \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\), ergo ammette un'inversa; tale inversa si indica con \(\sqrt[n]{\cdot} : x \mapsto \sqrt[n]{x} \) o, talvolta con \(\cdot ^{\frac{1}{n}} : x \mapsto x^{\frac{1}{n}} \). Per pensarla diversamente bisogna avere le idee ben confuse sul concetto di bîezione.
Che poi in contesti in cui l'esponente è variabile sia utile se non necessario limitarsi a lavorare sui reali non nulli è un'altro paio di maniche, ma si sta comunque operando una restrizione, le funzioni di cui sopra sono per costruzione ben definite su tutta la retta reale e questo è indiscutibile.
Che poi in contesti in cui l'esponente è variabile sia utile se non necessario limitarsi a lavorare sui reali non nulli è un'altro paio di maniche, ma si sta comunque operando una restrizione, le funzioni di cui sopra sono per costruzione ben definite su tutta la retta reale e questo è indiscutibile.
Il mio libro dà la stessa spiegazione di Giammaria per l'assurdo che ho postato, e cioè che se l'esponente è razionale la base non può essere negativa.
A scuola mi hanno insegnato che $root(3)(-27)=-3->$ e si può fare (infatti nelle disequazioni irrazionali con radici ad indice dispari non si pongono le c.e.).
A scuola mi hanno insegnato che $root(3)(-27)=-3->$ e si può fare (infatti nelle disequazioni irrazionali con radici ad indice dispari non si pongono le c.e.).
Quindi qualcuno tra te, il tuo insegnante e l'autore del libro che citi è convinto che \( \frac{1}{3} \not\in \mathbb{Q} \)?
Il discorso è un altro e, come ho già scritto qualche post fa, può variare a seconda delle definizioni che si accettano. Seguendo quelle che in Italia sono più diffuse e seguite, una radice con indice dispari è definita anche con radicandi negativi, mentre una potenza con esponente non intero non può avere base negativa.
Ne consegue che $root(3)(-27)=-3$ mentre non esiste $(-27)^(1/3)$: la formula $root(n)a=a^(1/n)$ vale solo per $a>=0$.
Ne consegue che $root(3)(-27)=-3$ mentre non esiste $(-27)^(1/3)$: la formula $root(n)a=a^(1/n)$ vale solo per $a>=0$.
Esatto... È strana come cosa comunque... direi che più che altro è questione di definizioni...! 
direi che la firma di Vulpasir possa fornirne la risposta
Ricordo, e realizzo solo adesso, che la mia insegnante aveva al tempo censurato la questione alla domanda di un mio compagno sul perché di questo, dicendo esattamente: "è un "casino"! Mi è capitato più volte di avere pareri contrastanti con i miei colleghi e quindi non riapro la questione".
Ora capisco perché
direi che la firma di Vulpasir possa fornirne la rispostaRicordo, e realizzo solo adesso, che la mia insegnante aveva al tempo censurato la questione alla domanda di un mio compagno sul perché di questo, dicendo esattamente: "è un "casino"! Mi è capitato più volte di avere pareri contrastanti con i miei colleghi e quindi non riapro la questione".
Ora capisco perché
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo