Quesito simulazione maturità(urgente)

[karl_popper]

Verficare che la funzione:
$1/x(int_0^x((sint))/tdt)$ in $(-oo;0)u(0;+oo)$
1 in x=0
sia continua in 0.

Vi dico quello che ho fatto io; mi servirebbe sapere se è giusto (e so che è antipatico dirlo, ma mi servirebbe il prima possibile);

la funzione è continua se i limiti destro è sinistro della funzione definita in $(-oo;0)u(0+oo)$ esitono e sono finiti ed assumono lo stesso valore della funzione in x=0.
Da cui:
$Lim_(x->0^+)(1/x(int_0^x((sint)/(t)dt)))=1$
Dal momento che un integrale definito una volta nota la funzione integranda e l'intervallo di integrazione è un numero determinato, si può definire la "t" che compare nell'integrale una falsa incognita.
Da cui:
$Lim_(x->0^+)(1/x(int_0^x((sinx)/(x)dx))=1/x*int_0^x(Lim_(x->0^+)((sinx)/(x))dx)=1/x*int_0^x(dx)=1/x*x=1$
C.V.D.

[gygabyte017]

In questo caso, non serve fare il limite sinistro e destro, perchè la funzione non è definita solo in un punto (sarebbe diverso le la funzione è definita con 2 funzioni a destra o a sinistra di un punto, in questo caso si fa il limite destro e sinistro).
Ti basta solo impostare come condizione:
$lim_(x->x_0)f(x)=f(x_0)$

e quindi nel tuo caso

$lim_(x->0)1/x int_0^x (sint)/t dt = f(0) = 1$

Secondo me è sbagliata la risoluzione del limite (che comunque è uguale per $0$, $0^+$ e $0^-$) perchè non mi convince il discorso della "falsa incognita".
Io farei così:

$lim_(x->0)1/x int_0^x (sint)/t dt$

Consideriamo l'integrale a parte: $lim_(x->0) int_0^x (sint)/t dt = int_0^0 (sint)/t dt = 0$ perchè $int_a^a f(x) = 0 AA a$

Quindi il limite $lim_(x->0)1/x int_0^x (sint)/t dt = oo*0$ è nella forma indeterminata $oo*0$.

Facciamo delle operazioni per ricondurlo alle forme $0/0$ o $oo/oo$ per applicare De L'Hopital

$lim_(x->0)1/x int_0^x (sint)/t dt$ = $lim_(x->0) (int_0^x (sint)/t dt)/x$ che è $0/0$ e applicamo appunto De L'Hopital:

$lim_(x->0) (int_0^x (sint)/t dt)/x = lim_(x->0) (d/(dx) (int_0^x (sint)/t dt))/(d/(dx)x)$

Consideriamo di nuovo l'integrale a parte:
$d/(dx) (int_0^x (sint)/t dt)$
Non sappiamo qual'è la funzione integranda, ma supponiamo che essa sia una generica $F(x)$. Di conseguenza, l'integrale è riscrivibile come:
$d/(dx) (int_0^x (sint)/t dt) =d/(dx) (F(x) - F(0))$
La derivata della F(x) non è altro che la funzione di prima, e la derivata di F(0) è 0, visto che è costante. Alla luce di questo:
$d/(dx) (F(x) - F(0)) = f(x) = (sinx)/x$

Tornando al limite:
$lim_(x->0) (d/(dx) (int_0^x (sint)/t dt))/(d/(dx)x) = lim_(x->0) (sin(x)/x)/1 = lim_(x->0) sin(x)/x = 1$ C.V.D.

Penso che devi farle queste considerazioni, per risolvere il limite...
Ciao!

[ficus2002]

Osserva che la funzione assegnata è pari quindi per dimostrare la continuità è sufficiente verificare che
$lim_{x\to 0^+} f(x)=1$;
Per $x>0$, si ha che
$f(x)-1=1/x \int_0^{x} sin t/tdt-1=1/x \int_0^{x} (sin t/t-1) dt$
così
$|f(x)-1|=1/x |\int_0^{x} (sin t -t)/t dt| \le 1/x \int_0^{x} (t-sin t)/t dt$;
dato che $t-sin t\le t^2$ per $t>0$, segue
$|f(x)-1| \le 1/x \int_0^{x} t dt = x/2 to 0$ per $x\to 0$.

[karl_popper]

grazie 1000 ad entrambi... ho capito..!