Quesito relativo ai problemi di massimo e minimo.
Salve.
Avrei il seguente dubbio:
Nei problemi di massimo e di minimo capita spesso di dover trovare il punto di una parabola che dista meno da un altro dato, che non le appartiene.
Ora, il normale procedimento per risolvere tale procedimento è abbastanza lungo. Proprio per questo ho trovato un altro procedimento, efficace ma, sembrerebbe, poco rigoroso. Vorrei avere la conferma che questo sistema è, tuttavia, corretto e la risposta ad alcune domande. Voglio portare due esempi:
I) Ho la parabola y= 0,25 x^2+1,5 x+2 ed un punto Q(3;8); voglio trovare i punti della parabola che meno distano dal punto Q.
(Noto che il punto Q ha ascissa pari all'ascissa del vertica della parabola data)
Calcolo la derivata prima della funzione y, y'=0,5x-1,5
Essendo y' il coefficiente angolare di tutte le tangenti alla parabola, e sapendo che "il segmento perpendicolare condotto da un punto ad una retta è minore di ogni segmento obliquo condotto dallo stesso punto alla stessa retta" allora calcolo il coefficiente angolare di una generica retta perpendicolare alla rispettiva tangente della parabola come m_⊥=-1/y'=-1/(0,5x-1,5)=(-2)/(x-3), conscio e consapevole, così facendo, di aver eliminato il segmento QV (V(3;-0,25) vertice della parabola) dall'insieme di segmenti che sto compulsando per trovare quello con la minima distanza da Q.
Trovo, a questo punto, la retta perpendicolare di pendenza m_⊥ passante per Q, dopo aver trovato l'equazione del fascio proprio con centro in Q:
y-8=m(x-3)⟶y-8= ((-2)/(x-3))∙(x-3)⟶y=6
Questa, come ho verificato anche all'elaboratore, non è la retta che cercavo ma è comunque un risultato propedeutico all'obiettivo finale dell'esercizio, cioè trovare i punti della parabola meno distanti da Q. Mettendo a sistema la retta ottenuta nell'ultimo passaggio, qualunque essa sia, e y= 0,25 x^2+1,5 x+2, infatti, ottengo proprio le ascisse di tali punti, cioè A(-2;6) e B(8;6) (per controllare l'accettabilità delle soluzioni è stata calcolata la distanza AQ=BQ e la distanza QV, confrontarle e verificare che QV>AQ, per cui A e Q sono soluzioni a tuti gli effetti). Questo ragionamento ha un fondamento teorico valido?
Questo è un caso particolare, dove il punto di riferimento esterno alla parabola ha la medesima ascissa del vertice della stessa.
Un altro caso è il seguente: si vuole individuare il punto P appartenente alla parabola y=-x^2 per il quale è minima la distanza dalla retta y=x+3.
Anche qui, ragionando analogamente al primo esempio, trovo la derivata prima della funzione della parabola, y'=-2x, lo eguaglio al coefficiente angolare della retta y=x+3, che è 1, e ottengo x=-0,5, che è proprio il punto che cercavo, P(-0,5;-0,25).
Spero qualcuno possa darmi una spiegazione del perché questo metodo è efficace.
Avrei il seguente dubbio:
Nei problemi di massimo e di minimo capita spesso di dover trovare il punto di una parabola che dista meno da un altro dato, che non le appartiene.
Ora, il normale procedimento per risolvere tale procedimento è abbastanza lungo. Proprio per questo ho trovato un altro procedimento, efficace ma, sembrerebbe, poco rigoroso. Vorrei avere la conferma che questo sistema è, tuttavia, corretto e la risposta ad alcune domande. Voglio portare due esempi:
I) Ho la parabola y= 0,25 x^2+1,5 x+2 ed un punto Q(3;8); voglio trovare i punti della parabola che meno distano dal punto Q.
(Noto che il punto Q ha ascissa pari all'ascissa del vertica della parabola data)
Calcolo la derivata prima della funzione y, y'=0,5x-1,5
Essendo y' il coefficiente angolare di tutte le tangenti alla parabola, e sapendo che "il segmento perpendicolare condotto da un punto ad una retta è minore di ogni segmento obliquo condotto dallo stesso punto alla stessa retta" allora calcolo il coefficiente angolare di una generica retta perpendicolare alla rispettiva tangente della parabola come m_⊥=-1/y'=-1/(0,5x-1,5)=(-2)/(x-3), conscio e consapevole, così facendo, di aver eliminato il segmento QV (V(3;-0,25) vertice della parabola) dall'insieme di segmenti che sto compulsando per trovare quello con la minima distanza da Q.
Trovo, a questo punto, la retta perpendicolare di pendenza m_⊥ passante per Q, dopo aver trovato l'equazione del fascio proprio con centro in Q:
y-8=m(x-3)⟶y-8= ((-2)/(x-3))∙(x-3)⟶y=6
Questa, come ho verificato anche all'elaboratore, non è la retta che cercavo ma è comunque un risultato propedeutico all'obiettivo finale dell'esercizio, cioè trovare i punti della parabola meno distanti da Q. Mettendo a sistema la retta ottenuta nell'ultimo passaggio, qualunque essa sia, e y= 0,25 x^2+1,5 x+2, infatti, ottengo proprio le ascisse di tali punti, cioè A(-2;6) e B(8;6) (per controllare l'accettabilità delle soluzioni è stata calcolata la distanza AQ=BQ e la distanza QV, confrontarle e verificare che QV>AQ, per cui A e Q sono soluzioni a tuti gli effetti). Questo ragionamento ha un fondamento teorico valido?
Questo è un caso particolare, dove il punto di riferimento esterno alla parabola ha la medesima ascissa del vertice della stessa.
Un altro caso è il seguente: si vuole individuare il punto P appartenente alla parabola y=-x^2 per il quale è minima la distanza dalla retta y=x+3.
Anche qui, ragionando analogamente al primo esempio, trovo la derivata prima della funzione della parabola, y'=-2x, lo eguaglio al coefficiente angolare della retta y=x+3, che è 1, e ottengo x=-0,5, che è proprio il punto che cercavo, P(-0,5;-0,25).
Spero qualcuno possa darmi una spiegazione del perché questo metodo è efficace.
Risposte
Nel primo caso, se procedi mediante il metodo forza bruta:
$[P(x,ax^2+bx+c) ^^ Q(x_Q,y_Q)] rarr [d^2(x)=(x-x_Q)^2+(ax^2+bx+c-y_Q)^2]$
$[(d[d^2(x)])/(dx)=0] rarr [2(x-x_Q)+2(ax^2+bx+c-y_Q)(2ax+b)=0] rarr$
$rarr [2ax+b=-(x-x_Q)/(ax^2+bx+c-y_Q)]$
In sintesi, la retta tangente alla parabola in $P$ deve essere perpendicolare alla retta passante per $P$ e per $Q$. Infatti, poiché il luogo geometrico dei punti equidistanti da $Q$ è una circonferenza di raggio $d$, il minimo valore di $d$ si ha proprio quando la parabola e la circonferenza sono tangenti in $P$. Ti puoi convincere tracciando le circonferenze di cui sopra con raggio crescente.
P.S.
Invece, nel secondo caso, ti puoi convincere tracciando le rette parallele a quella assegnata con distanza crescente.
$[P(x,ax^2+bx+c) ^^ Q(x_Q,y_Q)] rarr [d^2(x)=(x-x_Q)^2+(ax^2+bx+c-y_Q)^2]$
$[(d[d^2(x)])/(dx)=0] rarr [2(x-x_Q)+2(ax^2+bx+c-y_Q)(2ax+b)=0] rarr$
$rarr [2ax+b=-(x-x_Q)/(ax^2+bx+c-y_Q)]$
In sintesi, la retta tangente alla parabola in $P$ deve essere perpendicolare alla retta passante per $P$ e per $Q$. Infatti, poiché il luogo geometrico dei punti equidistanti da $Q$ è una circonferenza di raggio $d$, il minimo valore di $d$ si ha proprio quando la parabola e la circonferenza sono tangenti in $P$. Ti puoi convincere tracciando le circonferenze di cui sopra con raggio crescente.
P.S.
Invece, nel secondo caso, ti puoi convincere tracciando le rette parallele a quella assegnata con distanza crescente.
Per il primo caso (punto P appartenente all'asse della parabola) una buona semplificazione consiste nell'utilizzare la simmetria della figura. Se la parabola è ad asse verticale i suoi termini nella variabile $ x $ coincidono (a meno di un'eventuale costante moltiplicativa) con quelli della generica circonferenza con centro in P. La sostituzione di questi termini accoppiati porta ad un'equazione che è solo di secondo grado in $ y $, mentre in generale, il sistema ha una risolvente di quarto grado.
Ciao
Ciao
Grazie mille a entrambi.
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