Quesito Maturità [problema sui limiti di funzione]
Buongiorno a tutti, mi sono svegliato con questo bell'esercizio 
Sono sicuro basti poco:
"Dimostrare che se $lim_(x->x_0)f(x)=l_1$ e $lim_(x->x_0)g(x)=l_2$ allora:
1) $lim_(x->x_0)(\alpha f(x)+\beta g(x))= \alpha l_1+ \beta l_2$ , con $ \alpha,\beta in RR$
2) $lim_(x->x_0)f(x)*g(x)= l_1*l_2$
Non basta dire che le due funzioni sono continue, quindi esiste il limite che va a $x_0$ per entrambe e quindi si può sostituire il limite?
Grazie per l'aiuto
Sono sicuro basti poco:
"Dimostrare che se $lim_(x->x_0)f(x)=l_1$ e $lim_(x->x_0)g(x)=l_2$ allora:
1) $lim_(x->x_0)(\alpha f(x)+\beta g(x))= \alpha l_1+ \beta l_2$ , con $ \alpha,\beta in RR$
2) $lim_(x->x_0)f(x)*g(x)= l_1*l_2$
Non basta dire che le due funzioni sono continue, quindi esiste il limite che va a $x_0$ per entrambe e quindi si può sostituire il limite?
Grazie per l'aiuto
Risposte
Precisa il titolo, grazie.
Ho dato una mano al maturando nell'improbo compito di trovare un titolo piu' significativo 
Grazie 
"Gregor":
Non basta dire che le due funzioni sono continue, quindi esiste il limite che va a $x_0$ per entrambe e quindi si può sostituire il limite?
Grazie per l'aiuto
No, non puoi fare cosi'. Non c'e' scritto che il limite vale $f(x_0)$ e $g(x_0)$.
Devi usare la definzione di limite e cavartela con epsilon e delta.
Comuqnue questa e' una dimostrazione classica che trovi in ogni libro di analisi. E immagino sia da qualche parte anche nel tuo testo.
Diciamo che e' un "esercizio teorico"...
il discorso è semplice per quanto riguarda la prima tesi:
lim (αf(x)+βg(x))= lim αf(x) + lim βg(x) = α lim f(x) + β lim g(x) = αl1 + βl2
x→x0 x→x0 x→x0 x→x0 x→x0
[/code][/chesspos]
lim (αf(x)+βg(x))= lim αf(x) + lim βg(x) = α lim f(x) + β lim g(x) = αl1 + βl2
x→x0 x→x0 x→x0 x→x0 x→x0
[/code][/chesspos]
"ErPirat@":
il discorso è semplice per quanto riguarda la prima tesi:
lim (αf(x)+βg(x))= lim αf(x) + lim βg(x) = α lim f(x) + β lim g(x) = αl1 + βl2
x→x0 x→x0 x→x0 x→x0 x→x0
Credo sia proprio quello che bisogna dimostrare, così fai giù uso dei teormei do somma e prodotto dei limiti...
Credo sia proprio quello che bisogna dimostrare, così fai giù uso dei teormei do somma e prodotto dei limiti...
Si è vero, è colpa mia che non ci ho pensato prima
Aspetta, non ho capito: la soluzione di ErPirat# è giusta?
Quello che intendevo dire io è no, non lo è, perchè ha solo "spezzettato" il limite, facendo uso dei teoremi di somma e prodotto di limiti. Secondo me si devono proprio dimostrare questi teoremi, altrimenti è un esercizio ovvio.
Quello che intendevo dire io è no, non lo è, perchè ha solo "spezzettato" il limite, facendo uso dei teoremi di somma e prodotto di limiti. Secondo me si devono proprio dimostrare questi teoremi, altrimenti è un esercizio ovvio.
Secondo me è un esercizio ovvio. Bisognerebbe sapere in che posizione è collo cato nel suo testo. Se il testo, nella parte di teoria, dimostra il teorema sul limite di somma e limite di prodotto, e l'esercizio è posto nella omonima sezione, allora è ovvio. Se, invece, il testo spara i teoremi ma non li prova e rimanda la dimostrazione alla sezione "Esercizi", allora non è ovvio.
L'esercizio è una simulazione di quesito della maturità, quindi credo volesse proprio la dimostrazione di questi due teoremi.
Allora sicuramente puoi trovarla su qualunque libro di analisi.
secondo me è da fare tramite la definitizione di limite.. con epsilon appunto..
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