Quesito

[lunatica]

x e y sono due numeri naturali dispari tali che $x-y=2$.
Dimostrare che il numero $x^3-y^3$ risulta essere divisibile per due, ma non per tre.

[_luca.barletta]

$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$
da qui si conclude quasi subito

[lunatica]

si fin qui ero arrivato, ma come faccio a dire che $x^2+xy+y^2$ non è divisibile per tre?

[Principe2]

banalmente è divisibile per 2 perchè $x-y|x^3-y^3$. Per assurdo $3|x^2+xy+y^2$. Osserviamo che nè
$x$ nè $y$ sono divisibili per $3$, altrimenti lo sarebbero entrambi, contraddicendo l'ipotesi che differiscono
di 2. Dunque $x^2,y^2\equiv1(3)$. Ciò forza $xy\equiv1(3)$, ovvero $x,y\equiv1(3)$ oppure $x,y\equiv2(3)$.
Dunque $x,y$ differiscono per un multiplo di 3. Assurdo.

[Sk_Anonymous]

Elementarmente si puo' procedere così.
Si ha:
$x^3-y^3=(x-y)^3+3xy(x-y)=8+6xy$
Da qui si vede chiaramente che $x^3-y^3$ e' sicuramente divisibile per 2
ma non per 3 in quanto 6xy lo e' ma non l'addendo uguale ad 8.
A questo punto si puo' aggiungere che il teorema vale anche quando
x ed y sono due numeri pari consecutivi.
karl

[Principe2]

bene Karl... in effetti utilizzare quel minimo di congruenze un pò mi preoccupava!

[fabiola5]

"Assurancetourix":x e y sono due numeri naturali dispari tali che $x-y=2$.
Dimostrare che il numero $x^3-y^3$ risulta essere divisibile per due, ma non per tre.

Se x e y sono dispari e la loro differenza è 2 allora puoi scrivere x=2k +1 e y=2k -1.
$x^3-y^3= (x-y)(x^2 + xy +y ^2)$Se nel secondo sostituisci la nuova scrittura di x e y ottieni (x - y)(12k^2 +1) e quest'ultimo fattore diviso per 3 da sempre resto 1 per qualunque k perciò non è divisibile per 3.