Quesito
stavo provando a fare un esercizio di ammissione alla normale di pisa
http://download.sns.it/proveesame/matm_all.pdf (esattamente è il secondo della prima pagina)
dice: "Dimostrare che la seguente disuguaglianza non è valida per nessuno $x in RR != 0$
$sqrt(x)/sqrt(x-1) + sqrt(x) < 1$"
dopo una serie di passaggi (che non posto) sono arrivato a
$x^4+2x^3-5x^2-4x+1>0$
però alla scuola mia mi hanno spiegato le disequazioni fino al secondo grado, non è che qualcuno potrebbe darmi una mano?
anche perché derive6 (lo so che se fossi stato a quell'esame non avrei potuto usare derive6, però volevo il parere suo..) dice che la disuguaglianza la sopra (non la disequazione di 4° grado, per quella derive6 mi da un altra soluzione.. 
(suppongo che abbia sbagliato qualche passaggio)) è verificata per $0 <= x < sqrt(sqrt(2)+5/4)$ quindi sono alquanto confuso, e non vorrei che quelli della normale avessero sbagliato il testo..
quindi qualcuno esperto mi dia qualche dritta.. Grazie tante in anticipo..
Mega-X
http://download.sns.it/proveesame/matm_all.pdf (esattamente è il secondo della prima pagina)
dice: "Dimostrare che la seguente disuguaglianza non è valida per nessuno $x in RR != 0$
$sqrt(x)/sqrt(x-1) + sqrt(x) < 1$"
dopo una serie di passaggi (che non posto) sono arrivato a
$x^4+2x^3-5x^2-4x+1>0$
però alla scuola mia mi hanno spiegato le disequazioni fino al secondo grado, non è che qualcuno potrebbe darmi una mano?
anche perché derive6 (lo so che se fossi stato a quell'esame non avrei potuto usare derive6, però volevo il parere suo..
) dice che la disuguaglianza la sopra (non la disequazione di 4° grado, per quella derive6 mi da un altra soluzione.. (suppongo che abbia sbagliato qualche passaggio)) è verificata per $0 <= x < sqrt(sqrt(2)+5/4)$ quindi sono alquanto confuso, e non vorrei che quelli della normale avessero sbagliato il testo.. quindi qualcuno esperto mi dia qualche dritta.. Grazie tante in anticipo..
Mega-X
Risposte
"Mega-X":
stavo provando a fare un esercizio di ammissione alla normale di pisa
http://download.sns.it/proveesame/matm_all.pdf (esattamente è il secondo della prima pagina)
dice: "Dimostrare che la seguente disuguaglianza non è valida per nessuno $x in RR != 0$
$sqrt(x)/sqrt(x+1) + sqrt(x) < 1$"
ma non è $sqrt(x/(x-1)) + sqrt(x) < 1$
oppure ho letto male io?
DANNAZIONE ECCO PERCHE' MI ERANO VENUTI MALE I CALCOLI
amwoidajhdoijdjsodjgfoidjfidjfaoidsjfuasdhgiuadshfiudsa
grazie luca..
amwoidajhdoijdjsodjgfoidjfidjfaoidsjfuasdhgiuadshfiudsa
grazie luca..
ok ora con il quesito giusto sono arrivato ad un punto..
$t = x^2$ $"(1)"$
$t^(1/2)(-6t-2)+t^2+7t+1<0$ $"(2)"$
la $"(2)"$ si può scrivere come
${(t^(1/2)(-6t-2)<0" (3)"),(t^2+7t+1<0" (4)"):}$
la seconda disequazione non può MAI essere minore di 0
mentre la prima può esserlo
ora io devo dimostrare che la $"(2)"$ non è verificata per nessun $x != 0$ (tenendo ovviamente conto della $"(1)"$)
va bene se dico che la $"(2)"$ non è mai verificata perchè la $"(3)"$ è di grado minore rispetto alla $"(4)"$ e quindi la $"(3)"$ non assumera MAI valori più alti della $"(4)"$ e quindi la $"(2)"$ rimarrà sempre positiva come dice la tesi?!
Rispondetemi per favore e grazie in anticipo a chi mi risponde..
$t = x^2$ $"(1)"$
$t^(1/2)(-6t-2)+t^2+7t+1<0$ $"(2)"$
la $"(2)"$ si può scrivere come
${(t^(1/2)(-6t-2)<0" (3)"),(t^2+7t+1<0" (4)"):}$
la seconda disequazione non può MAI essere minore di 0
mentre la prima può esserlo
ora io devo dimostrare che la $"(2)"$ non è verificata per nessun $x != 0$ (tenendo ovviamente conto della $"(1)"$)
va bene se dico che la $"(2)"$ non è mai verificata perchè la $"(3)"$ è di grado minore rispetto alla $"(4)"$ e quindi la $"(3)"$ non assumera MAI valori più alti della $"(4)"$ e quindi la $"(2)"$ rimarrà sempre positiva come dice la tesi?!
Rispondetemi per favore e grazie in anticipo a chi mi risponde..
io farei un altro tipo di considerazioni direttamente sulla diseq nella forma originale posta dal problema.
infatti sappiamo che
le radici sono quantita' positive.
da cio' deduci che
il primo addendo del primo membro e' sempre magigore di 1 (in quanto il suo numeratore e' maggiore del suo denominatore)
quindi , tornando alla diseq originale ho:
[qualcosa maggiore di 1]+[qualcosa maggiore di 0]<1 che e' ovviamente mai verificata
da cio' l'asserto.
infatti sappiamo che
le radici sono quantita' positive.
da cio' deduci che
il primo addendo del primo membro e' sempre magigore di 1 (in quanto il suo numeratore e' maggiore del suo denominatore)
quindi , tornando alla diseq originale ho:
[qualcosa maggiore di 1]+[qualcosa maggiore di 0]<1 che e' ovviamente mai verificata
da cio' l'asserto.
eh io per andare da napoli a roma passo per milano..
cmq il mio procedimento andava bene lo stesso?
cmq il mio procedimento andava bene lo stesso?
"Mega-X":
ok ora con il quesito giusto sono arrivato ad un punto..
$t = x^2$ $"(1)"$
$t^(1/2)(-6t-2)+t^2+7t+1<0$ $"(2)"$
la $"(2)"$ si può scrivere come
${(t^(1/2)(-6t-2)<0" (3)"),(t^2+7t+1<0" (4)"):}$
la seconda disequazione non può MAI essere minore di 0
mentre la prima può esserlo
ora io devo dimostrare che la $"(2)"$ non è verificata per nessun $x != 0$ (tenendo ovviamente conto della $"(1)"$)
va bene se dico che la $"(2)"$ non è mai verificata perchè la $"(3)"$ è di grado minore rispetto alla $"(4)"$ e quindi la $"(3)"$ non assumera MAI valori più alti della $"(4)"$ e quindi la $"(2)"$ rimarrà sempre positiva come dice la tesi?!
Rispondetemi per favore e grazie in anticipo a chi mi risponde..
credo che il grado incida sui limiti all'infinito e non su valori che possono essere 'piccoli a piacimento'
Secondo me, stai facendo un po' di confusione. Non puoi trasformare la tua "(2)" in quel sistema, come se niente fosse.
però se sommi le 2 disequazioni danno la stessa disequazione
$A+B<0$
non equivale a:
${(A<0),(B<0):}$
cioe' la disequazione iniziale ed il sistema non hanno le stesse soluzioni in generale
non equivale a:
${(A<0),(B<0):}$
cioe' la disequazione iniziale ed il sistema non hanno le stesse soluzioni in generale
Io osserverei che per la realta' di $sqrt(x-1)$ e per l'esistenza di $sqrt(x)/sqrt(x-1) $
deve necessariamente essere $x>1$ e quindi anche $sqrtx>1$.
E cio' conclude la dimostrazione.
Vorrei avvertire Mega-X che tali quesiti sono del ..secolo scorso e vanno bene
come inizio.I quesiti di ammissione attuali sono ben piu' ..consistenti.
karl
deve necessariamente essere $x>1$ e quindi anche $sqrtx>1$.
E cio' conclude la dimostrazione.
Vorrei avvertire Mega-X che tali quesiti sono del ..secolo scorso e vanno bene
come inizio.I quesiti di ammissione attuali sono ben piu' ..consistenti.
karl
"karl":
Io osserverei che per la realta' di $sqrt(x-1)$ e per l'esistenza di $sqrt(x)/sqrt(x-1) $
deve necessariamente essere $x>1$ e quindi anche $sqrtx>1$.
E cio' conclude la dimostrazione.
il campo di esistenza di $sqrt(x)/sqrt(x-1)$ non è quello di $sqrt(x/(x-1))
scusa karl ma il fatto che per $x>1$ la radice quadrata risulta definita non dimostra il fatto che la disequazione non è verificata per nessun $x in RR != 0$
e poi irrational $sqrt(x/(x-1)) = sqrt(x)/sqrt(x-1)$ è quindi hanno uguale campo di esistenza..
e poi irrational $sqrt(x/(x-1)) = sqrt(x)/sqrt(x-1)$ è quindi hanno uguale campo di esistenza..
"Mega-X":
scusa karl ma il fatto che per $x>1$ la radice quadrata risulta definita non dimostra il fatto che la disequazione non è verificata per nessun $x in RR != 0$
e poi irrational $sqrt(x/(x-1) = sqrt(x)/sqrt(x-1)$ è quindi hanno uguale campo di esistenza..
beh si se fosse come dice lui per nessun x<1 la disuguaglianza sarebbe vera, se non fosse che (appunto) il campo di esistenza di $sqrt(x/(x-1))$ non è quello di $sqrt(x)/sqrt(x-1)$ (probabilmente avrà letto il tuo primo post senza leggere quello dopo)
scusa ma
$"C.E. :" sqrt(x/(x-1)) => x/(x-1)>0$
e quindi l'ultima disuguaglianza è equivalente a (stavolta non penso che non mi stia confondendo con i sistemi di disequazioni)
${(x>0),(x-1>0):}$ (1)
confrontando con
$"C.E.: " sqrt(x)/sqrt(x-1)$
viene
${(x>0),(x-1>0):}$
che è la stessa condizione della (1)
$"C.E. :" sqrt(x/(x-1)) => x/(x-1)>0$
e quindi l'ultima disuguaglianza è equivalente a (stavolta non penso che non mi stia confondendo con i sistemi di disequazioni)
${(x>0),(x-1>0):}$ (1)
confrontando con
$"C.E.: " sqrt(x)/sqrt(x-1)$
viene
${(x>0),(x-1>0):}$
che è la stessa condizione della (1)
nella seconda le 2 condizioni $x>=0; x-1>0$ sono indipendenti...cioè non le metti a sistema prendi solo la + restrittiva
"Mega-X":
scusa ma
$"C.E. :" sqrt(x/(x-1)) => x/(x-1)>0$
e quindi l'ultima disuguaglianza è equivalente a (stavolta non penso che non mi stia confondendo con i sistemi di disequazioni)
${(x>0),(x-1>0):}$ (1)
confrontando con
$"C.E.: " sqrt(x)/sqrt(x-1)$
viene
${(x>0),(x-1>0):}$
che è la stessa condizione della (1)
l'insieme delle soluzioni di
$A/B>0$
e' uguale a quello di
----------------------------------------------------------
${(A>0),(B>0):} $
unito (nel senso di unione insiemistica) a quello di
$ {(A<0),(B<0):} $
dove U e' l'unione delle soluzioni
------------------------------------------------------------
cacchio è vero..
più tendo ad imparare cose nuove imparo e non so perché più tendo a scordare i procedimenti elementari..
sarà perché sono troppo frettoloso?
più tendo ad imparare cose nuove imparo e non so perché più tendo a scordare i procedimenti elementari..
sarà perché sono troppo frettoloso?
"codino75":
l'insieme delle soluzioni di
$A/B>0$
e' uguale a quello di
----------------------------------------------------------
${(A>0),(B>0):} $
unito (nel senso di unione insiemistica) a quello di
$ {(A<0),(B<0):} $
dove U e' l'unione delle soluzioni
------------------------------------------------------------
scusa non ho capito...${(A>0),(B>0):} $ da tutte le soluzioni per A/B>0, e $ {(A<0),(B<0):} $
non dà le stesse soluzioni invertite?
cosa intendi per unione tra quei sistemi, non basta il primo?
lui intende l'unione delle soluzioni di quei sistemi
infatti per far in modo che $A/B > 0$ risulti verificata, A e B devono avere segno uguale
infatti per far in modo che $A/B > 0$ risulti verificata, A e B devono avere segno uguale
"Mega-X":
lui intende l'unione delle soluzioni di quei sistemi
infatti per far in modo che $A/B > 0$ risulti verificata, A e B devono avere segno uguale
intendo proprio cio'.
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