Quesiti vari sulle funzioni
Facendo alcuni esercizi mi sono venuti alcuni dubbi che è meglio risolva al più presto. Sono dubbi nati dal fatto che non mi ricordo più alcune cose fatte negli anni precedenti...
Primo quesito:
Per trovare la funzione inversa di una funzione occorre prima esplicitare la X e poi sostituire X con Y per riottenere una funziona nella forma $y = f(x)$
Questo procedimento è immediato per funzioni "semplici", mentre per quelle esponenziali o logaritmiche ho qualche problema.
Ad esempio: $y = e^-x -1$
Come si fa a trovare la funzione inversa?
Io avrei iniziato a fare
$ln y = ln (e^-x -1)$ per poi bloccarmi subito
Stessa cosa per i logaritmi:
$y = - ln (-x) -1$
Qui avrei iniziato a fare:
$e^y = e^ (ln (-x)-1)$ per poi bloccarmi nuovamente...
Mi potete spiegare un metodo valido per trovare la funzione inversa partendo da esponenziali e logaritmiche?
Secondo quesito
Una funzione per essere invertibile deve essere biiettiva. Come faccio a dimostrare che una funzione è invertibile (e quindi biiettiva)?
Terzo quesito
Come faccio a stabilire, senza disegnare una funzione sul piano cartesiano, che essa è monotona (ovvero sempre crescente o decrescente in senso lato o stretto?). Per capire se è crescente o decrescente basta porre $f(x1) > f (x2)$ (per le funzioni decrescenti e viceversa per quelle crescenti), ma per capire se è monotona? E' sufficiente porre la limitazione precedente?
Grazie mille!
Spero che con le vostre risposte possa finalmente togliermi un po' di ruggine dalla testa!
Primo quesito:
Per trovare la funzione inversa di una funzione occorre prima esplicitare la X e poi sostituire X con Y per riottenere una funziona nella forma $y = f(x)$
Questo procedimento è immediato per funzioni "semplici", mentre per quelle esponenziali o logaritmiche ho qualche problema.
Ad esempio: $y = e^-x -1$
Come si fa a trovare la funzione inversa?
Io avrei iniziato a fare
$ln y = ln (e^-x -1)$ per poi bloccarmi subito
Stessa cosa per i logaritmi:
$y = - ln (-x) -1$
Qui avrei iniziato a fare:
$e^y = e^ (ln (-x)-1)$ per poi bloccarmi nuovamente...
Mi potete spiegare un metodo valido per trovare la funzione inversa partendo da esponenziali e logaritmiche?
Secondo quesito
Una funzione per essere invertibile deve essere biiettiva. Come faccio a dimostrare che una funzione è invertibile (e quindi biiettiva)?
Terzo quesito
Come faccio a stabilire, senza disegnare una funzione sul piano cartesiano, che essa è monotona (ovvero sempre crescente o decrescente in senso lato o stretto?). Per capire se è crescente o decrescente basta porre $f(x1) > f (x2)$ (per le funzioni decrescenti e viceversa per quelle crescenti), ma per capire se è monotona? E' sufficiente porre la limitazione precedente?
Grazie mille!
Spero che con le vostre risposte possa finalmente togliermi un po' di ruggine dalla testa!
Risposte
Per risolvere il secondo quesito da te posto, ricorda che una funzione è invertibile se e solo se è bigettiva se e solo se è iniettiva e surgettiva.
Primo quesito: per trovare l'inversa di $y=e^-x-1$ (hai già dimostrato che è invertibile, vero?) procedi come segue:
$y+1=e^-x$
$-x=\log(y+1)$
$x=-\log(y+1)$
Per il terzo quesito: hai conoscenze di Analisi?
Primo quesito: per trovare l'inversa di $y=e^-x-1$ (hai già dimostrato che è invertibile, vero?) procedi come segue:
$y+1=e^-x$
$-x=\log(y+1)$
$x=-\log(y+1)$
Per il terzo quesito: hai conoscenze di Analisi?
Primo quesito
In $y=e^-x -1 $ e anche in $y=-ln(-x)-1$ prima di applicare la funzione inversa devi isolare il termine contenente la x
Ad esempio nel primo caso devi isolare l'eponenziale $y+1 =e^-x $ e quindi passare al logaritmo
$ln(y+1)=ln e^-x$.....
Secondo quesito
Se non riesci a dimostrarlo a priori, puoi farlo calcolando l'inversa. Ad esempio $y = x^2$ non è biettiva (basta pensare al grafico per rendersene conto) se crchi di fare l'inversa ne ottieni 2 cioè $x=+-sqrt y$. In questo caso non è che ci siano 2 funzioni inverse, c'è un'inversa per $x>=0$ che è $x= sqrt y$ e un'altra per $ x<0$ che è $x= -sqrt y$
In questo modo ovviamente puoi risolvere solo funzioni relativamente semplici per quelle più complicate servono le derivate, ma penso che tu non le abbia ancora trattate.
Terzo quesito
Una volta impostata la disequazione devi cercare di scomporla in modo che i fattori siano con segno sempre positivo o sempre negetivo. Anche in questo caso se non conosci le derivate potrai risolvere solamente esercizi molto semplici.
In $y=e^-x -1 $ e anche in $y=-ln(-x)-1$ prima di applicare la funzione inversa devi isolare il termine contenente la x
Ad esempio nel primo caso devi isolare l'eponenziale $y+1 =e^-x $ e quindi passare al logaritmo
$ln(y+1)=ln e^-x$.....
Secondo quesito
Se non riesci a dimostrarlo a priori, puoi farlo calcolando l'inversa. Ad esempio $y = x^2$ non è biettiva (basta pensare al grafico per rendersene conto) se crchi di fare l'inversa ne ottieni 2 cioè $x=+-sqrt y$. In questo caso non è che ci siano 2 funzioni inverse, c'è un'inversa per $x>=0$ che è $x= sqrt y$ e un'altra per $ x<0$ che è $x= -sqrt y$
In questo modo ovviamente puoi risolvere solo funzioni relativamente semplici per quelle più complicate servono le derivate, ma penso che tu non le abbia ancora trattate.
Terzo quesito
Una volta impostata la disequazione devi cercare di scomporla in modo che i fattori siano con segno sempre positivo o sempre negetivo. Anche in questo caso se non conosci le derivate potrai risolvere solamente esercizi molto semplici.
In effetti le derivate non le conosco ancora!
Quindi ad esempio
$y=-e^x+1$
Isolo la X
$y-1 = -e^x$
$ln (-y+1) = ln (e^x)$
$x = ln (-y+1)$
Inverto X con Y
$y = ln (1-x)$
Per il secondo quesito vedo se, calcolando l'inversa, mi viene fuori solo una funzione (nel caso di funzioni semplici, perché le derivate non so neanche cosa siano! ) e per il terzo idem: aspetto di conoscere meglio le derivate...
Alla fine il mio problema era quello legato ai logaritmi. Ora mi metto a farne qualcuna di queste!
Grazie mille!
Quindi ad esempio
$y=-e^x+1$
Isolo la X
$y-1 = -e^x$
$ln (-y+1) = ln (e^x)$
$x = ln (-y+1)$
Inverto X con Y
$y = ln (1-x)$
Per il secondo quesito vedo se, calcolando l'inversa, mi viene fuori solo una funzione (nel caso di funzioni semplici, perché le derivate non so neanche cosa siano!
) e per il terzo idem: aspetto di conoscere meglio le derivate...Alla fine il mio problema era quello legato ai logaritmi. Ora mi metto a farne qualcuna di queste!
Grazie mille!
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