Quesiti sui limiti

[Caesar VII1]

Vorrei il vostro aiuto sulla risoluzione di questi tre quesiti

1) Sia f definita (almeno) in un intorno di x0= 0 con
lim f(x) =1
x-->0
Giustificare o smentire l'affermazione: esiste un §>0 tale che f(x) >0 per ogni x : 0<|x|<§

2)Sia
lim f(x) = +oo
x-->1-
Giustificare o smentire l'affermazione: esiste un §>0 tale che f(x)> 10^5 per ogni x : 0<|x-1|<§.
In caso di risposta negativa, come va cambiata la conclusione affinchè l'affermazione risulti vera?

3)Trovare, se possibile, f:R --> R tale per cui NON esistono entrambi i limiti:

lim f(x)
x-->-oo

lim f(x)
x-->0+

[_prime_number]

Benvenuto sul forum. Il tuo post infrange un paio di regole fondamentali. Il forum richiede infatti che tu esponi i tuoi tentativi di risoluzione e che usi il sistema per scrivere le formule: ecco il topic apposito.

Paola

[gio73]

Ciao Caesar VII, di analisi sono un po' a digiuno... vorrei ragionare insieme a te, iniziamo dal primo

"Caesar VII":

1) Sia f definita (almeno) in un intorno di x0= 0 con
lim f(x) =1
x-->0
Giustificare o smentire l'affermazione: esiste un §>0 tale che f(x) >0 per ogni x : 0<|x|<§

vediamo se ho capito bene: allora c'è una funzione definita intorno all'ascissa 0, dunque esiste per x=0?
In ogni modo che esista o meno la funzione, esiste di sicuro il suo limite (uguale da destra e da sinistra) che vale 1.
Dopo mi dice se molto vicino, tanto vicino, vicino quanto voglio, proprio lì intorno all'ascissa 0 la funzione è positiva.
Secondo me sì, perchè se sia da destra che da sinistra deve tendere a 1, che è positivo, non può mica arrivarci saltando sù da valori negativi. Mi esprimo proprio male, vero?
Tu che ne pensi?

[@melia]

Quello che gio73 ti ha spiegato a parole non è altro che il "Teorema della permanenza del segno".

[gio73]

"Caesar VII":
2)Sia
lim f(x) = +oo
x-->1-
Giustificare o smentire l'affermazione: esiste un §>0 tale che f(x)> 10^5 per ogni x : 0<|x-1|<§.
In caso di risposta negativa, come va cambiata la conclusione affinchè l'affermazione risulti vera?

Proviamo con il secondo...
Allora la funzione si sta avvicinando da sinistra all'ascissa 1 e comincia a salire verso l'alto, sempre più in alto, giusto?
Poi mi chiede se intorno ad 1, ma attenzione usa il valore assoluto dunque l'intorno è sia a destra che a sinistra, abbastanza vicino ad 1, vicino quanto voglio, eccetera... la funzione sia più grande di 100000. Allora visto che mi parla solo di limite sinistro direi che bisogna cambiare qualcosa per rendere vera l'affermazione...
Però Caesar VII fatti sentire!