Quesiti maturità, derivate e differenziali

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31 mag 2015, 11:38

Dimostra che la funzione y = 5x/2 - x^3 + ln(x +1) + 3 è iniettiva nell'intervallo ] -1;1[ . Detta x= g(y) la funzione inversa, calcola la derivata di g(x) nel punto x = 3 .
Ho dimostrato che la derivata è sempre negativa in quell'intervallo e quindi la funzione è invertibile. Ma ho dei problemi ad esplicitare l'inversa e a trovare la derivata. Potete aiutarmi per favore?

Poi , ho un altro problema. Sia N = N(t) il numero dei batteri di una data colonia dopo t ore dall'inizio dell'osservazion; il rapporto R(t) tra la velocità di crescita del numero dei batteri e il numero dei batteri non é costante, ma decresce nel tempo. Esso vale R(t) = t / (t^2 + 4) espresso in h^(-1) . Scrivi e risolvi l'equazione differenziale che soddisfi la funzione N = N(t) . Supponendo che all'inizio la colonia fosse costituita da 1000 batteri , dopo aver determinato la soluzione del l'equazione differenziale, calcola dopo quanto tempo il numero dei batteri sarà il triplo di quello iniziale. Esprimi il risultato in ore e minuti, arrotondato ai minuti.
Non riesco proprio ad impostare il problema ..grazie

Risposte

mazzarri1

31 mag 2015, 09:59

ciao Nereide

1) prima parte

$y=5/2 x-x^3+3+ln(x+1)$

$y'=5/2-3x^2+1/(x+1)= (5x+7-6x^3-6x^2)/(2(x+1))=$
$=((1-x)(6x^2+12x+7))/(2(x+1))$

se studi il segno della derivata prima vedi che il trinomio di secondo grado è sempre positivo e che quindi la derivata è positiva per $-1
Poi nota che l'esercizio non ti chiede di esplicitare la funzione inversa!!! direi che sarebbe quasi impossibile... dice solo di calcolarne la derivata dell'inversa nel punto x=3... esiste un teorema a tal proposito, il teorema della derivata della funzione inversa lo conosci?

In "formule" dice che

$[f^(-1) (y_0)]' = 1/(f'(x_0))$

Applichiamolo al tuo caso... conosci solo $y_0=3$ allora per prima cosa troviamo $x_0$ e per fare questo devi risolvere $y=3$

$y=5/2x-x^3+ln(x+1)+3=3$ che ti fornisce una soluzione banale $x=0$

(oltre a una ulteriore soluzione al di fuori del tuo intervallo)

Ora $y'(0)=7/2$

Di conseguenza, per il teorema di cui sopra,

$g'(3)=2/7$

and we have done...

(spero di non aver fatto errori)

ciao!!!

mazzarri1

31 mag 2015, 10:31

2) Seconda parte

Il problema descrive R(t) come di rapporto tra la velocità di crescita e il numero di batteri. Potrei allora dire che abbiamo

$R(t)=(N'(t))/(N(t))=t/(t^2+4)$

cioè

$(dN)/(dt) 1/(N(t))=t/(t^2+4)$

cioè

$(dN)/N=t/(t^2+4) dt$

ora puoi integrare entrambi i membri e risolvi da solo... posta magari le tue conclusioni se vuoi

ciao!!