Quesiti di matematica
Salve a tutti.
Qui di seguito posterò nei prossimi giorni alcuni quesiti di matematica. Vi sarei infinitamente grato se potreste aiutarmi a risolverli.
Grazie a tutti quelli che si cimenteranno.
Qui di seguito posterò nei prossimi giorni alcuni quesiti di matematica. Vi sarei infinitamente grato se potreste aiutarmi a risolverli.
Grazie a tutti quelli che si cimenteranno.
Risposte
L'intero Forum è a tua completa disposizione!!! (spero!) :-p
Ecco il primo.
Sia m un intero positivo. Dimostrare che la soluzione dell'equazione
$10^x=m$
o è intera, o è irrazionale.
Io ho ragionato in questa maniera:
La soluzione dell'equazione è
$x=Log(m)$
se m=10^n, dove n è un intero positivo o negativo, la soluzione è intera, in tutti gli altri casi è irrazionale.
Voi che ne pensate?
Sia m un intero positivo. Dimostrare che la soluzione dell'equazione
$10^x=m$
o è intera, o è irrazionale.
Io ho ragionato in questa maniera:
La soluzione dell'equazione è
$x=Log(m)$
se m=10^n, dove n è un intero positivo o negativo, la soluzione è intera, in tutti gli altri casi è irrazionale.
Voi che ne pensate?
ehe 
So da dove l'hai preso..
So da dove l'hai preso..
Grazie stellacometa2003!!! 
Eh si . Però ormai ho rinunciato definitivamente al Sant'Anna 
(andò in fisica!). Sto facendo questi esercizi per prepararmi ai test di ammissione di un'altra scuola.
. Però ormai ho rinunciato definitivamente al Sant'Anna (andò in fisica!). Sto facendo questi esercizi per prepararmi ai test di ammissione di un'altra scuola.
In ogni caso ti assicuro che i problemi non sono assolutamente di quel livello, sono molto più complessi e lunghi... Quelli di questo anno erano davvero tosti..
Vuoi entrare alla Normale?
Grande Valerio! .
Hai postato anche altri quesiti di matematica?
.Hai postato anche altri quesiti di matematica?
Si, qualche altro, ed anche un sfilza di problemi di ammissione di fisica, ma che credo purtroppo non si potranno più visualizzare..
In ogni caso tutto si trova alla 11 pagina della sezione Università..
In ogni caso tutto si trova alla 11 pagina della sezione Università..
Alla Normale?! ma stai scherzando?
Alla "Normalina", come tutti la chiamano, la Scuola Superiore di Catania.
Lo so ma in ogni caso meglio iniziare dalle cose semplici, no?
Alla "Normalina", come tutti la chiamano, la Scuola Superiore di Catania.
In ogni caso ti assicuro che i problemi non sono assolutamente di quel livello, sono molto più complessi e lunghi... Quelli di questo anno erano davvero tosti..
Lo so ma in ogni caso meglio iniziare dalle cose semplici, no?
Non c'è da preoccuparsi, quel tuo topic sui quesiti di fisica è già memorizzato sul mio computer da un bel pò...
In ogni caso ti avverto che potrebbero esserci degli errori, anche grossolani dovuti alla fretta..
Eccomi di nuovo con un'altro esercizio.
Considerare la funzione
$y=(4x)/(1+4x^2)$
I)limitatamente all'insieme delle x>0
I.1)Provare che y è limitata
I.2)determinare il valore massimo
I.3)dedurre, da i.2 che x=1/2 è il punto massimo
I.4)provare che, per x>1/2, la funzione è decrescente
II)dedurre da I) l'andamento della funzione su tutto l'asse reale.
E' fatto assoluto divieto di usare derivate o qualsiasi utensile che appartenga all'analisi.
Il dominio della funzione è l'intero campo reale. Per provare che la funzione è limitata basta trovare il suo codominio.
Quindi
$y=(4x)/(1+4x^2); y+4yx^2=4x; 4yx^2-4x+y=0; x=(2+-2sqrt(1-y^2))/4;$
Il dominio della funzione inversa è uguale al codominio della funzione, quindi
$1-y^2>=0; [-1;1]$.
Il codominio è limitato, quindi lo è anche la funzione. Il valore massimo della funzione è 1. Sostituendo questo valore nella funzione precedentemente trovata si ottiene x=1/2 come punto di massimo. Per cui anche I.3) è risolto.
Ora come faccio a determinare che per x>1/2 la funzione è decrescente con un metodo diverso da quello della derivata?
Come faccio a dedurre l'andamento della funzione lungo tutto l'asse reale senza l'ausilio dei limiti? Basta forse specificare solo il campo d'esistenza della funzione?
Grazie a che risponderà.
Considerare la funzione
$y=(4x)/(1+4x^2)$
I)limitatamente all'insieme delle x>0
I.1)Provare che y è limitata
I.2)determinare il valore massimo
I.3)dedurre, da i.2 che x=1/2 è il punto massimo
I.4)provare che, per x>1/2, la funzione è decrescente
II)dedurre da I) l'andamento della funzione su tutto l'asse reale.
E' fatto assoluto divieto di usare derivate o qualsiasi utensile che appartenga all'analisi.
Il dominio della funzione è l'intero campo reale. Per provare che la funzione è limitata basta trovare il suo codominio.
Quindi
$y=(4x)/(1+4x^2); y+4yx^2=4x; 4yx^2-4x+y=0; x=(2+-2sqrt(1-y^2))/4;$
Il dominio della funzione inversa è uguale al codominio della funzione, quindi
$1-y^2>=0; [-1;1]$.
Il codominio è limitato, quindi lo è anche la funzione. Il valore massimo della funzione è 1. Sostituendo questo valore nella funzione precedentemente trovata si ottiene x=1/2 come punto di massimo. Per cui anche I.3) è risolto.
Ora come faccio a determinare che per x>1/2 la funzione è decrescente con un metodo diverso da quello della derivata?
Come faccio a dedurre l'andamento della funzione lungo tutto l'asse reale senza l'ausilio dei limiti? Basta forse specificare solo il campo d'esistenza della funzione?
Grazie a che risponderà.
Non è per niente semplice... comunque provo a dire la mia...
Siccome x=1/2 è un punto di massimo significa che nel grafico la curva "sale" fino ad x=1/2. Dopo x=1/2 (che è punto di massimo assoluto) quindi non vi sono punti che stanno al di sopra di y(1/2)=1. Perciò la funzione "scende" dopo x=1/2 ed è pertanto decrescente.
Quanto al grafico, prova a cercare gli asintoti scomponendo la funzione nella somma di una funzione lineare ax+b con una fratta e trovi (y=ax+b) un asintoto. Poi potresti trovare con lo stesso procedimento di prima dei punti di minimo... Non so... Spero di essere stato chiaro e di esserti stato utile.
Ciao
Paolo90 8)
Siccome x=1/2 è un punto di massimo significa che nel grafico la curva "sale" fino ad x=1/2. Dopo x=1/2 (che è punto di massimo assoluto) quindi non vi sono punti che stanno al di sopra di y(1/2)=1. Perciò la funzione "scende" dopo x=1/2 ed è pertanto decrescente.
Quanto al grafico, prova a cercare gli asintoti scomponendo la funzione nella somma di una funzione lineare ax+b con una fratta e trovi (y=ax+b) un asintoto. Poi potresti trovare con lo stesso procedimento di prima dei punti di minimo... Non so... Spero di essere stato chiaro e di esserti stato utile.
Ciao
Paolo90 8)
Si Paolo anche io ho pensato che intuitivamente si potrebbe dire che 1/2 è un punto dopo il quale la funzione decresce, ma esiste un metodo per verificarlo matematicamente? Io ne conosco uno per le funzioni lineari, ma come faccio con questa funzione fratta??
il dominio e limitato a x>o, no?
1) e 2)
E' facile osservare che f(x)>=0 sempre! (e' quindi limitata inferiormente)
resta da provare che sia limitata superiormente.
Bisogna trovare il limite superiore.
f(x)<=k (dove k e' tale limite sup.)
risolvendo si ha
x1=1+sqrt(1-k^2)
x2=1-sqrt(1-k^2)
per cui k=1 e'il limirte superiore.
3) per determinare la x in corrispondenza di tale punto basta risolvere
f(x)=1 --> x=1/2
4) si osserva che l'equazione
f(x)=k (con0< k<1)
ha sempre due soluzioni.
Questo significa che il grafico di f ha sempre e solo due punti in comune con ogni retta orizzontale y=k (con 0
Ora essendo stata provata l'esistenza di un punto di massimo, ogni retta orizzontale piu' bassa di 1 (passatemi l'espressione) deve intersecare il grafico una volta prima di 1/2 e una volta dopo.
Se la f non fosse definitivamente decrescente, ci dovrebbero essere delle rette orizzontali con almeno tre punti in comune con f il che non accade. Ne segue che f e' decrescente per x>1/2
Giusto?
ciao,
Giuseppe
1) e 2)
E' facile osservare che f(x)>=0 sempre! (e' quindi limitata inferiormente)
resta da provare che sia limitata superiormente.
Bisogna trovare il limite superiore.
f(x)<=k (dove k e' tale limite sup.)
risolvendo si ha
x1=1+sqrt(1-k^2)
x2=1-sqrt(1-k^2)
per cui k=1 e'il limirte superiore.
3) per determinare la x in corrispondenza di tale punto basta risolvere
f(x)=1 --> x=1/2
4) si osserva che l'equazione
f(x)=k (con0< k<1)
ha sempre due soluzioni.
Questo significa che il grafico di f ha sempre e solo due punti in comune con ogni retta orizzontale y=k (con 0
Ora essendo stata provata l'esistenza di un punto di massimo, ogni retta orizzontale piu' bassa di 1 (passatemi l'espressione) deve intersecare il grafico una volta prima di 1/2 e una volta dopo.
Se la f non fosse definitivamente decrescente, ci dovrebbero essere delle rette orizzontali con almeno tre punti in comune con f il che non accade. Ne segue che f e' decrescente per x>1/2
Giusto?
ciao,
Giuseppe
per poi dedurre il suo comportamento su tutto R, basta osservare che e' simmetrica rispetto all'origine
f(-x)=-f(x)
ciao
f(-x)=-f(x)
ciao
E' dispari vero, non ci avevo pensato. Ti ringrazio omonimo! 
Grazie di nuovo
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E' dispari vero, non ci avevo pensato. Ti ringrazio omonimo!
Grazie di nuovo
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