Qualche quesito del test d'ingresso per Informatica
Salve, mi accingo a dover risostenere il test d'ingresso per Informatica a Settembre, causa trasferimento in un altro ateneo.
Ho deciso di postare qui i quesiti perchè alla fine riguardano la matematica del liceo principalmente, dunque dovrebbe andare bene se posto in questa sezione.
Ecco di seguito i quesiti:
Potete risolverli per favore? Indicando i passaggi in modo abbastanza analitico affinchè possa capire il ragionamento che c'è dietro. Un altro favore: potete dirmi anche che conoscenze ci vogliono per risolvere esercizi di questa tipologia? Magari in modo preciso, senza dirmi ad esempio "trigonometria" perchè l'argomento è troppo vasto e volevo mirare a ciò che serve nello specifico!
Vi ringrazio in anticipo, so che magari tali esercizi potranno sembrare molto facili ma per me che alle superiori non ho mai visto trigonometria non lo sono, anche perchè non so bene come orientarmi sull'argomento, non avendolo fatto.
Ho deciso di postare qui i quesiti perchè alla fine riguardano la matematica del liceo principalmente, dunque dovrebbe andare bene se posto in questa sezione.
Ecco di seguito i quesiti:
La retta in figura passa per i punti $P(-2, 0)$ e $Q(5, 4)$ e forma un angolo $\beta$ con l'asse delle $x$. Quanto vale $tan \beta$?
Figura: http://oi62.tinypic.com/2zggu3r.jpg (scusate per la qualità un po' scarsa della foto ma dovrebbe capirsi)
$A. 4/5$
$B. 4/3$
$C. 7/4$
$D. 5/4$
$E. 4/7$
Se un terreno orizzontale è posta un'asta verticale. Se la sua ombra ha lunghezza $L$ quando i raggi del sole formano un angolo $\alpha$ con il suolo, la sua altezza è:
$A. L/tan \alpha $
$B. L tan \alpha $
$C. L sin \alpha $
$D. sin \alpha/L $
$E. L/ sin \alpha $
Nel piano cartesiano sono dati i punti $A(0, 0)$ e $B(3, 0)$. Tra tutti i triangoli $APB$, con il vertice $P$ sulla curva $\Gamma$ indicata in figura, ve n'è uno di area massima, Tale area è uno dei valori seguenti. Quale?
Figura: http://oi58.tinypic.com/2le5g76.jpg
$A. 9$
$B. 8$
$C. 7,5$
$D. 7$
$E. 8,5$
Si consideri il segmento $PQ$ in figura. La lunghezza di tale segmento è:
Figura: http://oi57.tinypic.com/2lk7dkw.jpg
$A. sqrt{2sqrt{2}+1}$
$B. 2 sqrt{2+sqrt{2}}$
$C. sqrt{2(2-sqrt{2})+1}$
$D. 2 sqrt{2-sqrt{2}}$
$E. 2 sqrt{2(sqrt{2}-1)}$
Potete risolverli per favore? Indicando i passaggi in modo abbastanza analitico affinchè possa capire il ragionamento che c'è dietro. Un altro favore: potete dirmi anche che conoscenze ci vogliono per risolvere esercizi di questa tipologia? Magari in modo preciso, senza dirmi ad esempio "trigonometria" perchè l'argomento è troppo vasto e volevo mirare a ciò che serve nello specifico!
Vi ringrazio in anticipo, so che magari tali esercizi potranno sembrare molto facili ma per me che alle superiori non ho mai visto trigonometria non lo sono, anche perchè non so bene come orientarmi sull'argomento, non avendolo fatto.
Risposte
Bastano le basi di trigonometria e geometria analitica ... per il terzo è sufficiente la geometria delle medie ...
Sai come si calcola l'area di un triangolo? La base è fissa perciò l'area massima si avrà quando ...
Comunque dovresti postare prima i tuoi tentativi ...
Cordialmente, Alex
Sai come si calcola l'area di un triangolo? La base è fissa perciò l'area massima si avrà quando ...
Comunque dovresti postare prima i tuoi tentativi ...
Cordialmente, Alex
E' che a parte per il terzo negli altri non so davvero dove mettere mani, ripeto, la trigonometria purtroppo non l'ho vista.
Per il terzo: la base vale $3$, l'area del triangolo è $(base * text{altezza} )/2$ dunque l'area massima si avrà sicuramente con l'altezza maggiore possibile. A occhio e croce mi pare che il punto più "alto" della curva sia in $(4, 5)$ dunque mi viene da dire che in quel punto l'altezza è massima. Credo di dover calcolare la distanza tra $B(3, 0)$ e $(4, 5)$ per avere la dimensione del cateto, dunque $sqrt{(4-3)^2+(5-0)^2}$ che è uguale a $5,09$ circa. Sto procedendo bene?
Per il terzo: la base vale $3$, l'area del triangolo è $(base * text{altezza} )/2$ dunque l'area massima si avrà sicuramente con l'altezza maggiore possibile. A occhio e croce mi pare che il punto più "alto" della curva sia in $(4, 5)$ dunque mi viene da dire che in quel punto l'altezza è massima. Credo di dover calcolare la distanza tra $B(3, 0)$ e $(4, 5)$ per avere la dimensione del cateto, dunque $sqrt{(4-3)^2+(5-0)^2}$ che è uguale a $5,09$ circa. Sto procedendo bene?
Idee tue? Il regolamento le richiede. Comunque ti do qualche indicazione sugli argomenti che sono coinvolti, esercizio per esercizio.
1) Occorre conoscere un po' di analitica; quello che serve è saper calcolare la $m$ di una retta di cui sai due punti e la formula $m=tan beta$.
2) Serve il secondo teorema sui triangoli rettangoli della trigonometria. Se non hai mai visto la trigonometria, studia almeno la definizione di seno, coseno e tangente ed i due teoremi sui triangoli rettangoli.
3) Serve solo un briciolo di ragionamento e saper calcolare l'area di un triangolo, nel modo che probabilmente conoscevi fin dalle elementari.
4) Il modo più banale è tracciare $PH$, perpendicolare all'asse $x$, e calcolarlo ricordando che in un triangolo rettangolo isoscele si ha $"cateto"="ipotenusa"/sqrt2$; applichi poi il teorema di Pitagora al triangolo $PHQ$. E' utile anche qualche nozione sui radicali, in particolare la razionalizzazione dei denominatori.
Scusa, axpgn: la tua risposta è arrivata mentre digitavo la mia. Dato che ormai è pronta, la invio.
1) Occorre conoscere un po' di analitica; quello che serve è saper calcolare la $m$ di una retta di cui sai due punti e la formula $m=tan beta$.
2) Serve il secondo teorema sui triangoli rettangoli della trigonometria. Se non hai mai visto la trigonometria, studia almeno la definizione di seno, coseno e tangente ed i due teoremi sui triangoli rettangoli.
3) Serve solo un briciolo di ragionamento e saper calcolare l'area di un triangolo, nel modo che probabilmente conoscevi fin dalle elementari.
4) Il modo più banale è tracciare $PH$, perpendicolare all'asse $x$, e calcolarlo ricordando che in un triangolo rettangolo isoscele si ha $"cateto"="ipotenusa"/sqrt2$; applichi poi il teorema di Pitagora al triangolo $PHQ$. E' utile anche qualche nozione sui radicali, in particolare la razionalizzazione dei denominatori.
Scusa, axpgn: la tua risposta è arrivata mentre digitavo la mia. Dato che ormai è pronta, la invio.
@Omar_93
Hai esagerato un attimo ...
L'altezza è $5$, perciò l'area massima sarà $(3*5)/2=7.5$ che è uno dei valori proposti ... a che ti serve il cateto?
Essendo la base orizzontale, l'altezza sarà verticale e dato che un estremo si trova sull'asse cioè con ordinata $0$ la lunghezza dell'altezza sarà data semplicemente dal valore della funzione nel punto più "alto" ...
Per il resto sono cose semplici, come detto bastano le basi ...
Cordialmente, Alex
Hai esagerato un attimo ...
L'altezza è $5$, perciò l'area massima sarà $(3*5)/2=7.5$ che è uno dei valori proposti ... a che ti serve il cateto?
Essendo la base orizzontale, l'altezza sarà verticale e dato che un estremo si trova sull'asse cioè con ordinata $0$ la lunghezza dell'altezza sarà data semplicemente dal valore della funzione nel punto più "alto" ...
Per il resto sono cose semplici, come detto bastano le basi ...
Cordialmente, Alex
@giammaria
Di nulla, figurati ... e poi le tue risposte sono sempre più esaurienti.
Una domanda: per il punto 4 non mi torna nessuna delle risposte ...
Di nulla, figurati ... e poi le tue risposte sono sempre più esaurienti.
Una domanda: per il punto 4 non mi torna nessuna delle risposte ...
"giammaria":
4) Il modo più banale è tracciare $PH$, perpendicolare all'asse $x$, e calcolarlo ricordando che in un triangolo rettangolo isoscele si ha $"cateto"="ipotenusa"/sqrt2$; applichi poi il teorema di Pitagora al triangolo $PHQ$. E' utile anche qualche nozione sui radicali, in particolare la razionalizzazione dei denominatori.
Scusa, axpgn: la tua risposta è arrivata mentre digitavo la mia. Dato che ormai è pronta, la invio.
Chiedo scusa per non aver postato mie idee. Per il 4), traccio $PH$ che dunque interseca l'asse $x$, a questo punto la formula che hai postato a cosa mi serve? L'ipotenusa non ce l'ho, l'ipotenusa è proprio $PQ$, no? O ho capito male il tuo ragionamento?
Per il 4 hai sia lunghezza di $PH$ che quella di $HQ$ (a occhio, naturalmente) perciò ti calcoli l'ipotenusa cioè $PQ$ (anche se a me non torna nessuna delle risposte ...)
Ho controllato nuovamente le risposte e le ho trascritte in modo corretto dal libricino del test dunque non so! Comunque, beh, $PH$ a occhio varrà $1,2$ circa. $HQ$ credo circa $3,1$
Forse ho capito perché non mi tornavano ... 
$PH=sqrt(2)$ perché è il lato di un quadrato con diagonale pari a $2$ mentre $HQ=2+sqrt(2)$ quindi la risposta è ...
$PH=sqrt(2)$ perché è il lato di un quadrato con diagonale pari a $2$ mentre $HQ=2+sqrt(2)$ quindi la risposta è ...
@ axpgn) Concordo con l'ultimo post.
@Omar_93) Ho parlato di triangolo rettangolo isoscele,e $PHQ$ non è certo isoscele. Nella figura c'è però un triangolo rettangolo isoscele ed è a quello che devi pensare; ne conosci l'ipotenusa perché ...
Quanto al tuo ultimo post, una soluzione ad occhio è meglio di niente ma non è quello che si richiede. Infatti vedi che le risposte sono date da formule esatte.
@Omar_93) Ho parlato di triangolo rettangolo isoscele,e $PHQ$ non è certo isoscele. Nella figura c'è però un triangolo rettangolo isoscele ed è a quello che devi pensare; ne conosci l'ipotenusa perché ...
Quanto al tuo ultimo post, una soluzione ad occhio è meglio di niente ma non è quello che si richiede. Infatti vedi che le risposte sono date da formule esatte.
"giammaria":
@Omar_93) Ho parlato di triangolo rettangolo isoscele,e $PHQ$ non è certo isoscele. Nella figura c'è però un triangolo rettangolo isoscele ed è a quello che devi pensare; ne conosci l'ipotenusa perché ...
Mmh, triangolo rettangolo isoscele, parli di quello con vertici: l'origine, $(2,0)$ e $(0,2)$?
No, parlo di un triangolo che vedi già disegnato dopo aver tracciato $PH$; di quello che citi invece non è disegnata l'ipotenusa. Forza, non è difficile!
Ok, traccio $PH$ dunque ho il triangolo con vertici in $P$, origine e $H$. Non ho comunque la lunghezza di nessun lato e visto che hai detto di non guardare le dimensioni a occhio non capisco come possa tornarmi utile la formula che mi hai scritto qualche messaggio fa! Scusami se non riesco a seguirti.
L'ipotenusa di quel triangolo è pari al raggio del cerchio e il raggio del cerchio è chiaramente uguale a $2$ ...
"axpgn":
L'ipotenusa di quel triangolo è pari al raggio del cerchio e il raggio del cerchio è chiaramente uguale a $2$ ...
Ok allora se l'ipotenusa vale $2$ ($PO$), i cateti dovrebbero valere $2/sqrt{2}$, razionalizzando $2/sqrt{2}*sqrt{2}/sqrt{2}$ ottengo che i cateti valgono $sqrt{2}$, dunque $HQ$ vale $sqrt{2}+2$, dunque $PQ$ vale $sqrt{sqrt{2}^2+(sqrt{2}+2)^2}$, dopo qualche passaggio ottengo che vale $2sqrt{2+sqrt{2}}$, giusto?
Credo di aver capito, forse quando mi ci metto un po' non sono poi così scemo in Matematica! (forse!)P.S. L' """intuizione""" sul fatto che $PO$ valesse $2$ non mi è venuta perchè ero un po' arruginito sulla circonferenza: mi era sfuggito che $PO$ fosse pari al raggio del cerchio, che come hai detto tu, è appunto chiaramente $2$!
Oh, non preoccuparti, neppure io me n'ero accorto, avevo dato per scontato che "il cateto" valesse $1.5$ ma giammaria ha l'occhio lungo ...
Comunque gli ultimi due esercizi ora gli ho capiti, grazie al vostro aiuto. Per il terzo alla fine stavo usando quella formula complicata perchè mi ero dimenticato che per l'altezza di un triangolo ottusangolo bastava tracciare $PH$ come la perpendicolare alla base, in questo caso dunque perpendicolare all'asse delle $x$, come in questa figura, per intenderci.
Per i primi due vedo di vedermi un po' di teoria e poi eventualmente riutilizzo questo topic in caso di perplessità, vi ringrazio.
Per i primi due vedo di vedermi un po' di teoria e poi eventualmente riutilizzo questo topic in caso di perplessità, vi ringrazio.
"Omar_93":
... per l'altezza di un triangolo ottusangolo bastava tracciare $PH$ come la perpendicolare alla base,
Per TUTTI i triangoli l'altezza è quella ...
Si però siccome più che altro ho visto problemi con triangoli rettangoli, in quel caso l'altezza coincide con un lato, per questo. 
Ho fatto qualche altro quesito su argomenti che in teoria non avevo mai visto, volevo chiedervi se erano corretti:
Ho cercato un po' su internet ed ho trovato che si risolve col teorema di Pitagora. Sapendo che la distanza dal centro alla metà della corda ($OH$) è uguale a $1/3 r$, mentrre l'ipotenusa (la distanza dal centro ad uno dei due vertici della corda) è uguale a $r$, per trovare l'altro cateto uso Pitagora: $sqrt{r^2 - 1/9 r^2} = sqrt{r^2(1 - 1/9)} = r sqrt{1- 1/9} = r sqrt{8/9} = r sqrt{ (2^2 * 2) / 3^2} = 2r / 3 sqrt{2}$ ora moltiplico tale quantità per $2$ per ottenere la lunghezza totale della corda e ottengo $4r / 3 sqrt{2}$, dunque la risposta esatta è la $D$.
Se l'ipotenusa vale $a$, i due cateti valgono $a/sqrt{2}$ (per la formula che mi avete postato in precedenza ), l'area del triangolo dunque vale $a^2/4$. Il volume della piramide è $S_b * h/3$, essendo che anche $h = a$ allora $volume = a^2/4 * a/3 = a^3/12$ dunque la risposta è la $D$.
Sono corretti?
In un cerchio di raggio $r$, quanto è lunga una corda che dista dal centro un terzo di $r$?
$A. (2sqrt{2})/3 r$
$B. (8sqrt{2})/3 r$
$C. sqrt{2}/3 r$
$D. (4sqrt{2})/3 r$
$E. (5sqrt{2})/3 r$
Ho cercato un po' su internet ed ho trovato che si risolve col teorema di Pitagora. Sapendo che la distanza dal centro alla metà della corda ($OH$) è uguale a $1/3 r$, mentrre l'ipotenusa (la distanza dal centro ad uno dei due vertici della corda) è uguale a $r$, per trovare l'altro cateto uso Pitagora: $sqrt{r^2 - 1/9 r^2} = sqrt{r^2(1 - 1/9)} = r sqrt{1- 1/9} = r sqrt{8/9} = r sqrt{ (2^2 * 2) / 3^2} = 2r / 3 sqrt{2}$ ora moltiplico tale quantità per $2$ per ottenere la lunghezza totale della corda e ottengo $4r / 3 sqrt{2}$, dunque la risposta esatta è la $D$.
Una piramide ha per base un triangolo rettangolo isoscele. L'ipotenusa del triangolo e l'altezza della piramide misurano $a$. Qual è il volume della piramide?
$A. a^3/(4 sqrt{3})$
$B. a^3/8$
$C. a^3 /6 $
$D. a^3/12$
$E. a^3/(6 sqrt{2})$
Se l'ipotenusa vale $a$, i due cateti valgono $a/sqrt{2}$ (per la formula che mi avete postato in precedenza
), l'area del triangolo dunque vale $a^2/4$. Il volume della piramide è $S_b * h/3$, essendo che anche $h = a$ allora $volume = a^2/4 * a/3 = a^3/12$ dunque la risposta è la $D$.Sono corretti?
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