Quadrilateri inscrivibili
E' stato assegnato il seguente problema. "Dato il quadrilatero ABCD e detti L,M,N,P i punti di incontro delle bisettrici, dimostrare che il quadrilatero LMNP è inscrittibile. "
Mi pare che il problema sia mal formulato: cosa si intende per punti d'incontro? se si riferisce ai punti d'incontro delle bisettrici fra loro il problema, mi pare, non ha soluzione (ad es. nel quadrato le bisettrici si incontrano in un punto). Se invece si riferisce ai punti d'incontro fra le bisettrici e i lati non so se il problema è dimostrabile per qualunque quadrilatero o solo per quelli inscrivibili.
In ogni caso bisognerebbe dimostrare che 2 angoli opposti sono supplementari e la cosa mi resta assai ostica.
Mi affido alle menti eccelse che pullulano in questo sito, specie fra i moderatori, per chiarirmi le idee, anche perchè, secondo il testo, è classificato come problema di "semplice soluzione".
Mi pare che il problema sia mal formulato: cosa si intende per punti d'incontro? se si riferisce ai punti d'incontro delle bisettrici fra loro il problema, mi pare, non ha soluzione (ad es. nel quadrato le bisettrici si incontrano in un punto). Se invece si riferisce ai punti d'incontro fra le bisettrici e i lati non so se il problema è dimostrabile per qualunque quadrilatero o solo per quelli inscrivibili.
In ogni caso bisognerebbe dimostrare che 2 angoli opposti sono supplementari e la cosa mi resta assai ostica.
Mi affido alle menti eccelse che pullulano in questo sito, specie fra i moderatori, per chiarirmi le idee, anche perchè, secondo il testo, è classificato come problema di "semplice soluzione".
Risposte
probabilmente il problema non è formulato molto bene
si tratta comunque di una situazione abbastanza classica, quindi penso di interpretare bene il testo dicendo che i punti d'incontro sono proprio quelli che ottieni dall'intersezione tra loro delle bisettrici
certo è che devi disegnare un quadrilatero qualunque (che quindi non sia nessuno dei quadrilateri particolari che conosci)e cercare di tracciare molto bene le bisettrici, in modo da avere ben chiaro il disegno
P.S. Ho trovato lo stesso problema sul Dodero del biennio, ed inizia così:"Le bisettrici degli angoli di un quadrilatero convesso qualunque s'intersecano nei quattro punti E,F,G,H. Dimostrare...."
si tratta comunque di una situazione abbastanza classica, quindi penso di interpretare bene il testo dicendo che i punti d'incontro sono proprio quelli che ottieni dall'intersezione tra loro delle bisettrici
certo è che devi disegnare un quadrilatero qualunque (che quindi non sia nessuno dei quadrilateri particolari che conosci)e cercare di tracciare molto bene le bisettrici, in modo da avere ben chiaro il disegno
P.S. Ho trovato lo stesso problema sul Dodero del biennio, ed inizia così:"Le bisettrici degli angoli di un quadrilatero convesso qualunque s'intersecano nei quattro punti E,F,G,H. Dimostrare...."
Il Dodero parla di quadrilatero convesso qualunque. Avrebbe dovuto specificare "escluso quadrato, rettangolo, parallelogramma ecc.". Comunque a me il disegno, fatto con riga e goniometro, non viene. Nel senso che su 10 "quadrilateri qualunque" nemmeno una volta ho ottenuto 4 punti formanti un quadrilatero. Colpa di imprecisione del disegno, certo, ma è il testo che doveva fornire il disegno con i dati, visto che il problema non è generalizzabile. Comunque, ammesso di aver fatto tutto nel rispetto del sior Dodero (brontolon), qualcuno è in grado di suggerirmi come posso dimostrare che angoli opposti sono supplementari?
La figura è qui
http://i48.tinypic.com/250jntd.png
La somma degli angoli interni del quadrilatero assegnato è .....
Facendo riferimento alla figura scrivi questa relazione utilizzando i nomi degli angoli, quindi raccogli a fattor comune un 2 e semplifica.
Questa relazione (*) ti sarà utile per il problema.
La somma degli angoli interni di un triangolo è....
Ora considera il triangolo BCB' e determina la misura dell'angolo in B' per differenza
Allo stesso modo considera il triangolo ADA' e determina la misura dell'angolo in A'
Utilizza sempre la (*) per semplificare le misure ottenute
L'angolo A'NB' è opposto al vertice di ....
Ora prova a ricavare per differenza le misure degli altri angoli che ti servono per la dimostrazione.
(In figura c'è un aiutino...)
Buon lavoro,
S.
http://i48.tinypic.com/250jntd.png
La somma degli angoli interni del quadrilatero assegnato è .....
Facendo riferimento alla figura scrivi questa relazione utilizzando i nomi degli angoli, quindi raccogli a fattor comune un 2 e semplifica.
Questa relazione (*) ti sarà utile per il problema.
La somma degli angoli interni di un triangolo è....
Ora considera il triangolo BCB' e determina la misura dell'angolo in B' per differenza
Allo stesso modo considera il triangolo ADA' e determina la misura dell'angolo in A'
Utilizza sempre la (*) per semplificare le misure ottenute
L'angolo A'NB' è opposto al vertice di ....
Ora prova a ricavare per differenza le misure degli altri angoli che ti servono per la dimostrazione.
(In figura c'è un aiutino...)
Buon lavoro,
S.
Guardando la figura (a proposito mathmum: come hai fatto a disegnarla?) la soluzione è quasi banale. Due angoli opposti del quadrilatero interno hanno per somma, la semisomma degli angoli del quadrilatero esterno, cioè la meta di 360°.
cmq grazie dell'aiuto.
p.s. sono un nonno, e cerco di aiutare i tanti miei nipotini e nipotoni (dal biennio al quinto scientifico) che hanno difficoltà in mat. per la quale ho una certa passione, anche se non sono molto dotato. cmq il più delle volte ci riesco, altre la memoria mi tradisce e allora anch'io abbisogno di un aiutino.
cmq grazie dell'aiuto.
p.s. sono un nonno, e cerco di aiutare i tanti miei nipotini e nipotoni (dal biennio al quinto scientifico) che hanno difficoltà in mat. per la quale ho una certa passione, anche se non sono molto dotato. cmq il più delle volte ci riesco, altre la memoria mi tradisce e allora anch'io abbisogno di un aiutino.
"gabriello47":
(a proposito mathmum: come hai fatto a disegnarla?)
Con GeoGebra, programma libero e gratuito che puoi scaricare da www.geogebra.org (da oggi è online il nuovo sito)
Complimenti per la passione matematica e buon lavoro con GeoGebra (se hai bisogno di aiuto, chiedi pure nel forum di ggb)
S.
Ho cercato il download di GeoGebra, ma devo cliccare webstart? Mi dice di scaricare Java!
Java è condizione necessaria e sufficiente per il funzionamento di Geogebra 
Quindi, innanzitutto vai su www.java.com e verifica di avere java installato, se non lo hai o hai una versione "antica", installa la più recente.
Consiglio un sano riavvio del computer dopo l'installazione.
A questo punto torna sul sito di GeoGebra, fai clic su Download, quindi WebStart ed esegui il file jnlp che ti viene proposto.
Dovrebbe funzionare.
La cosa comoda del Webstart è che, siccome il programma viene aggiornato quasi giornalmente, hai sempre l'ultima versione disponibile, al contrario dell'installazione "offline".
Se ci sono problemi, per favore posta sul forum di geoGebra, perchè io passo raramente da qui...
NB chi avesse installato GeoGebra prima di ieri (6 marzo) potrebbe avere dei problemi con le versioni webstart, causa migrazione su un nuovo server.
Date un'occhiata al forum italiano di GGB in cui spiego cosa/come fare
Buon lavoro con GeoGebra,
S.
Quindi, innanzitutto vai su www.java.com e verifica di avere java installato, se non lo hai o hai una versione "antica", installa la più recente.
Consiglio un sano riavvio del computer dopo l'installazione.
A questo punto torna sul sito di GeoGebra, fai clic su Download, quindi WebStart ed esegui il file jnlp che ti viene proposto.
Dovrebbe funzionare.
La cosa comoda del Webstart è che, siccome il programma viene aggiornato quasi giornalmente, hai sempre l'ultima versione disponibile, al contrario dell'installazione "offline".
Se ci sono problemi, per favore posta sul forum di geoGebra, perchè io passo raramente da qui...
NB chi avesse installato GeoGebra prima di ieri (6 marzo) potrebbe avere dei problemi con le versioni webstart, causa migrazione su un nuovo server.
Date un'occhiata al forum italiano di GGB in cui spiego cosa/come fare
Buon lavoro con GeoGebra,
S.
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