Quadrato perfetto

[Peppo_95]

Salve,
avendo il polinomio $ 9x^2 + 36x + 376$ , come posso trovare il valore di $x$ affinché si abbia un quadrato perfetto?
Non so nemmeno da dove iniziare il ragionamento... potete aiutarmi?

[xXStephXx]

[tex]9x^2 +36x +376 = n^2[/tex]

Inizierei così! xD

[giannirecanati]

Mettiamo le ipotesi:
[tex]n^2 \equiv 0 \pmod{4}[/tex] se è pari, se invece è dispari [tex]n^2 \equiv 1 \pmod{4}[/tex]

Primo caso) [tex]9x^2+36x+376=4k[/tex]
[tex]\displaystyle\frac{9}{4}x^2+36x+376=k[/tex]
Il risultato deve essere intero quindi la soluzione è [tex]x=2[/tex]
E' l'unica soluzione ma non chiedermi di dimostrarlo perchè sono anch'io alle prime armi con teoria dei numeri.

Per il secondo caso non c'è soluzione ma anche qui non saprei dimostrarlo.

Vorrei anzitutto che qualcuno confermasse il risultato e potesse mostrarmi come dimostrarlo.

[Peppo_95]

Ho comunque dimenticato di scrivere che la $x$ deve essere solamente intera e positiva.

[Gi81]

Problema interessante. L'ho risolto (almeno, credo di averlo risolto, se non ho fatto errori) in modo abbastanza laborioso. Magari c'è un modo più veloce

Trovare tutti gli $x$ interi positivi tali che $9x^2+36x+376$ è un quadrato perfetto

$9x^2+36x+376=9x^2+36x+36+340= (3x+6)^2+340$

Quindi deve esistere $n in NN$ tale che $(3x+6)^2+340=n^2$
Per semplificare i calcoli successivi, pongo $a=3x+6$ . Ovviamente $a in NN$ (dato che $x in NN$), e $a
Il problema quindi diventa trovare tutte le coppie $(a,n) in NNxxNN$ che soddisfano $n^2-a^2=340$
Ho trovato che ci sono solo due soluzioni possibili: ${(a=12),(n=22):} vv{(a=84),(n=86):}$
In spoiler metto come ci sono arrivato:

$n^2-a^2=340<=> (n+a)(n-a)=340$

Chiamo $x=n+a$, $y=n-a$

Faccio ora alcune considerazioni su $x$ e $y$:
1) $x,y in NN$ (perchè sono la somma e la differenza di numeri naturali, e $n>a$)
2) $x>y>0$
3) $x*y=340$
4) poichè $340=2^2*5*17$, almeno uno tra $x$ e $y$ è un numero pari
5) poichè $2n=x+y$, si deve avere che $x+y$ è pari. Dunque sono entrambi numeri pari

Pertanto $x=2*k$, $y=2*h$.
Rimangono i fattori $5$ e $17$ da distribuire sui due numeri, senza dimenticare che deve essere $x>y$ (quindi $k>h$)
Le uniche possibilità sono ${(k=17),(h=5):}$ e ${(k=17*5),(h=1):}$
Ovvero ${(x=34),(y=10):} vv {(x=170),(y=2):}$, da cui
${(n=22),(a=12):} vv {(n=86),(a=84):}$

Quindi abbiamo due possibilità:
1) $3x+6=12 => x=2$
2) $3x+6=84 => x=26$