Quadrato perfetto
Stabilire se 36661 è un quadrato perfetto.
Risposte
Sia $a \in \mathbb{N}$ tale che $a^2 = 36661$. Allora $a$ è dispari, per cui $1 \equiv 600 + 61 \equiv 61 \equiv -3$ $mod$ $8$, assurdo!
Un'alternativa all'agile (e ottima) risoluzione di HiTToLo può tener
conto di questa proprietà:
Se la penultima cifra di un quadrato dispari è 6, la terzultima
dev'essere dispari.
In altre parole: Nessun quadrato dispari può essere composto da 6
decine e un numero pari di centinaia.
Proviamo a darne una giustificazione senza ricorrere esplicitamente
alle congruenze.
Consideriamo il numero naturale 100p+60+d, dove d è dispari ed è
minore di 10, e supponiamo che sia un quadrato.
Riconosciamo facilmente che d può essere 1 oppure 9, poiché
nessun quadrato termina con 3 e 7 e i quadrati terminanti con 5
hanno sempre 2 come penultima cifra:
(10q+5)² = 100q(q+1)+25.
Vediamo, inoltre, che 100p+60+d deve seguire di un'unità un multiplo
di 8, dal momento che (2r+1)² = 8·½r(r+1)+1.
Questo ci porta ai due casi seguenti:
100p+60 = 8·½r(r+1) (per d=1)
100p+68 = 8·½r(r+1) (per d=9)
in entrambi i quali p dev'essere dispari, diversamente 100p sarebbe
divisibile per 8, di cui però 60 e 68 non sono multipli.
Dunque, se in un quadrato dispari la penultima cifra è 6, la terzultima
(cioè il numero delle centinaia) dev'essere dispari.
E anche per questa via sappiamo perché 36661 non può essere un
quadrato perfetto.
conto di questa proprietà:
Se la penultima cifra di un quadrato dispari è 6, la terzultima
dev'essere dispari.
In altre parole: Nessun quadrato dispari può essere composto da 6
decine e un numero pari di centinaia.
Proviamo a darne una giustificazione senza ricorrere esplicitamente
alle congruenze.
Consideriamo il numero naturale 100p+60+d, dove d è dispari ed è
minore di 10, e supponiamo che sia un quadrato.
Riconosciamo facilmente che d può essere 1 oppure 9, poiché
nessun quadrato termina con 3 e 7 e i quadrati terminanti con 5
hanno sempre 2 come penultima cifra:
(10q+5)² = 100q(q+1)+25.
Vediamo, inoltre, che 100p+60+d deve seguire di un'unità un multiplo
di 8, dal momento che (2r+1)² = 8·½r(r+1)+1.
Questo ci porta ai due casi seguenti:
100p+60 = 8·½r(r+1) (per d=1)
100p+68 = 8·½r(r+1) (per d=9)
in entrambi i quali p dev'essere dispari, diversamente 100p sarebbe
divisibile per 8, di cui però 60 e 68 non sono multipli.
Dunque, se in un quadrato dispari la penultima cifra è 6, la terzultima
(cioè il numero delle centinaia) dev'essere dispari.
E anche per questa via sappiamo perché 36661 non può essere un
quadrato perfetto.
Un topic di due anni fa...
Qualcuno potrebbe spiegarmi la risoluzione di HiTToLo, che a me risulta oscura?
Grazie
Qualcuno potrebbe spiegarmi la risoluzione di HiTToLo, che a me risulta oscura?
Grazie
Si basa sul fatto che un quadrato dispari è congruo a 1 modulo 8 
Due numeri sono congrui modulo n se nella divisione per n danno lo stesso resto, un numero dispari può essere scritto come $2n+1$ , con $n in NN$, e il suo quadrato diventa $(2n+1)^2=4n^2+4n+1=4n(n+1)+1$ come puoi osservare il quadrato appena scritto, nella divisione per 8 dà come resto 1. Controlliamo se il numero di partenza è congruo 1 modulo 8. $36661=4852*8+5$, il resto nella divisione per 8 non è 1, il numero non può essere un quadrato.
Ciao
Ciao
Perfetto
Grazie mille a entrambi, alla prossima
Grazie mille a entrambi, alla prossima
perchè hai diviso per 8? cmq dove posso trovare in internet le regole per capire se è un quadrato perfetto? cm per esempio il teorema della penultima cifra..sul mio libro non c'è niente..
"kekko89":
perchè hai diviso per 8? cmq dove posso trovare in internet le regole per capire se è un quadrato perfetto? cm per esempio il teorema della penultima cifra..sul mio libro non c'è niente..
Ti consiglio di cercare "aritmetica modulare" su google. Si tratta di un modo davvero illuminante di pensare ai numeri.
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