$P(x)=ax^2+bx+c$

[elios2]

Un trinomio (a coefficienti reali) $P(x)=ax^2+bx+c$ ha la proprietà che, se $x$ è un numero intero, anche $P(x)$ è un intero. Provare che $2a$, $2b$ e $c$ sono interi. Si può anche concludere che $a$ e $b$ sono interi?

[Mi interessano questi esercizi con i polinomi, anche se sinceramente non capisco quella proprietà..]

[Bruno13]

Se il tuo polinomio, per qualsiasi argomento intero,
ti fornisce un intero, guarda cosa succede se metti
al posto di x tre numeri consecutivi...

[franced]

"elios":Un trinomio (a coefficienti reali) $P(x)=ax^2+bx+c$ ha la proprietà che, se $x$ è un numero intero, anche $P(x)$ è un intero. Provare che $2a$, $2b$ e $c$ sono interi. Si può anche concludere che $a$ e $b$ sono interi?

[Mi interessano questi esercizi con i polinomi, anche se sinceramente non capisco quella proprietà..]

Prova a mettere $x=0$ e trovi che $c$ è intero..

[G.D.5]

Da traccia risulta che: $\forall x \in \mathbb{Z}, P(x) \in \mathbb{Z}$.
In particolare, $P(x) \in \mathbb{Z}$ per $x=0 \in \mathbb{Z}$: in tal caso risulta $P(0)=a0^2 + b0 + c = c \in \mathbb{Z}$.
Inoltre: $P(1)=a1^2 + b1 + c=a+b+c \in \mathbb{Z}$ e poiché $\mathbb{Z}$ è chiuso rispetto alla moltiplicazione si ha anche $2*P(1)=2a + 2b + 2c \in \mathbb{Z}$. Anche $P(2)=a2^2 + b2 + c =4a + 2b + c \in \mathbb{Z}$. $\mathbb{Z}$ è chiuso rispetto all'addizione, dunque: $P(2) - 2P(1)=4a + 2b + c -2a - 2b - 2c =2a - c \in \mathbb{Z}$. Supponiamo che $2a$ non sia intero: esistono $m, n \in \mathbb{Z}$ con $gcd(m,n)=1$, $n != 0$ non divisore di $m$, tali che $2a=\frac{m}{n}$; segue che $2a - c = \frac{m}{n} - c = \frac{m - cn}{n}$ che ovviamente non è intero. Dunque è $2a \in \mathbb{Z}$.
Procedendo in modo analogo ma con $P(2)$ e $4P(1)$ si dimostra che $2b \in \mathbb{Z}$.

Se $2a, 2b \in \mathbb{Z}$ allora anche $a, b \in \mathbb{Z}$. Supponiamo che $a$ non sia intero, allora perché sia intero $2a$ deve essere $a=\frac{a'}{2}$ con $a'$ dispari. Supponiamo $b$ intero. Deve essere $\frac{a'}{2}x^2 + bx + c \in \mathbb{Z}, \forall x \in \mathbb{Z}$; ovviamente $bx + c \in \mathbb{Z}$ dunque, tenendo conto delle considerazioni fatte nella precedente parte della dimostrazione, deve essere $\frac{a'}{2}x^2 \in \mathbb{Z}, \forall x \in \mathbb{Z}$, cosa non vera se $x$ è dispari. Negando la tesi (cioè $a ^^ b \in \mathbb{Z}$) si incorre in un assurdo: dunque $a, b \in \mathbb{Z}$.

P.S.
Chiedo scusa a Bruno, non ho visto che avevi già postato.
Chiedo scusa ad eslios ed al forum per le probabilissime sciocchezze che ho detto.

P.P.S.
Battuto due volte sul tempo.

[elios2]

Wizard, non ho capito perche a un certo punto hai fatto $P(2)-2P(1)$..

[G.D.5]

Per tirare fuori $2a$.

[elios2]

Credo di aver strabiliarmente capito!!!! Grazie!