Punto di accumulazione

[Incognita X]

Ciao a tutti, belli e brutti. :hi

Ho studiato la definizione di punto di accumulazione. Preso un insieme

[math]A \subset \mathbb{R}[/math]

, un punto

[math]x \in \mathbb{R}[/math]

è detto punto di accumulazione per

[math]A[/math]

se in un suo qualunque intorno cadono infiniti punti appartenenti all'insieme. In parole più semplici, se io faccessi un ingrandimento, prendendo un intorno infinitamente piccolo, dovrei trovare sempre punti appartenenti all'insieme.

Il problema sorge al primo esercizio. Il testo è il seguente:

Sia dato un insieme

[math]A = \left\{x \in \mathbb{R} : x = 1 - \frac{1}{3^n}, n \in \mathbb{N}\right\}[/math]

.

Facendo uso della definizione di punto di accumulazione, dimostrare che

[math]x = 1[/math]

è l'unico punto di accumulazione per

[math]A[/math]

.

Cosa si intende per dimostrazione? Dimostrazione per induzione?

Perché io per verificare la tesi ho semplicemente posto

[math]n=0 \rightarrow x = 0 [/math]

e poi, considerando che al crescere di

[math]n[/math]

,

[math]x[/math]

tende a 1, mentre al diminuire di

[math]n[/math]

,

[math]x[/math]

tende a

[math]-\infty[/math]

... posso dedurre che 1 sia l'unico punto di accumulazione. Ma come faccio a fare una dimostrazione su carta in modo formale, accettabile dal professore?

Grazie.

[Incognita X]

xico87:
per farti vedere la distanza tra due termini adiacenti della successione, anche se mi pare ci sia un'imprecisione dopo: se assumi x0 come punto medio tra 1-1/3^n e 1-1/3^(n+1), e il raggio minore della metà della distanza trovata, allora puoi vedere che l'intorno I(x0, r)\{x0} non contiene punti di A. allora puoi concludere che x0 non è di accumulazione per A.

edit
il passaggio per i limiti c'è sempre, perchè devi immaginare che n diventi sempre più grande (ovvero un limite per n che va a +infinito)

Ok, ma ho la mente un po' confusa... aspetto, se possibile, qualche altro chiarimento, prima di esaminare tutta la situazione per intero.

@Calimero: ti ho risposto...