Punto di accumulazione

[Incognita X]

Ciao a tutti, belli e brutti. :hi

Ho studiato la definizione di punto di accumulazione. Preso un insieme

[math]A \subset \mathbb{R}[/math]

, un punto

[math]x \in \mathbb{R}[/math]

è detto punto di accumulazione per

[math]A[/math]

se in un suo qualunque intorno cadono infiniti punti appartenenti all'insieme. In parole più semplici, se io faccessi un ingrandimento, prendendo un intorno infinitamente piccolo, dovrei trovare sempre punti appartenenti all'insieme.

Il problema sorge al primo esercizio. Il testo è il seguente:

Sia dato un insieme

[math]A = \left\{x \in \mathbb{R} : x = 1 - \frac{1}{3^n}, n \in \mathbb{N}\right\}[/math]

.

Facendo uso della definizione di punto di accumulazione, dimostrare che

[math]x = 1[/math]

è l'unico punto di accumulazione per

[math]A[/math]

.

Cosa si intende per dimostrazione? Dimostrazione per induzione?

Perché io per verificare la tesi ho semplicemente posto

[math]n=0 \rightarrow x = 0 [/math]

e poi, considerando che al crescere di

[math]n[/math]

,

[math]x[/math]

tende a 1, mentre al diminuire di

[math]n[/math]

,

[math]x[/math]

tende a

[math]-\infty[/math]

... posso dedurre che 1 sia l'unico punto di accumulazione. Ma come faccio a fare una dimostrazione su carta in modo formale, accettabile dal professore?

Grazie.

[xico87]

no, si intende che lo devi far vedere con la definizione. quella che hai è una successione (cioè una funzione da N in R). le successioni ammettono limite solo per n --> + infinito.
ora possiamo definire una palla di centro x0 e raggio epsilon:

[math] B_{\epsilon}\left( x_0\right) = \left\{ x \in R, \, \epsilon > 0 \;| \; || x - x_0 || < \epsilon \right\} [/math]

* se per ogni epsilon l'intersezione tra B(x0)\{x0} e A è diversa dall'insieme vuoto, allora x0 è di accumulazione per A (in altre parole significa che esiste un intorno di x0 di ampiezza infinitesima in cui puoi sempre trovare punti di A.
n appartiene ad N, devi aver sbagliato a scrivere (se appartenesse ad R, tutti i punti di A sarebbero di accumulazione).
per vedere che 1 è di accumulazione, devi notare che l'intersezione tra B e A risulta non vuota solo quando n va a + infinito, infatti in tutti gli altri casi puoi trovare

[math] \epsilon > 0 \, | \, A \cap (B_{\epsilon} (x_0) \setminus [/math]

[math]\left\{ x_0\right\} ) = \emptyset [/math]

.
se n va a infinito allora x tende a 1.. come ti dicevo, l'idea è quella del limite di una successione, che vedrai più avanti nel corso degli studi

edit: corretta riga con l'asterisco, rileggila

[Incognita X]

Grazie per avermi risposto.

xico87:
no, si intende che lo devi far vedere con la definizione.

Immaginavo. Non poteva essere così semplice...

xico87:
quella che hai è una successione (cioè una funzione da N in R). le successioni ammettono limite solo per n --> + infinito.
ora possiamo definire una palla di centro x0 e raggio epsilon:

[math] B_{\epsilon}\left( x_0\right) = \{x \in R, \, \epsilon > 0 \;| \; || x - x_0 || < \epsilon \} [/math]

se per ogni epsilon l'intersezione tra B(x0)\{x0} e A è diversa dall'insieme vuoto, allora x0 è di accumulazione per A (in altre parole significa che esiste un intorno di x0 di ampiezza infinitesima in cui puoi sempre trovare punti di A.

Ok, fin qui ci sono.

xico87:
n appartiene ad N, devi aver sbagliato a scrivere (se appartenesse ad R, tutti i punti di A sarebbero di accumulazione).

Sì, è proprio così. Errore di distrazione. Anzi, ho fatto un doppio errore. Ho scritto R, ma ho considerato i numeri relativi Z... insomma, ho preso tutti gli insiemi numerici tranne quello corretto! :dozingoff

xico87:
per vedere che 1 è di accumulazione, devi notare che l'intersezione tra B e A risulta non vuota solo quando n va a + infinito, infatti in tutti gli altri casi puoi trovare

[math] \epsilon > 0 \, | \, A \cap (B_{\epsilon}\left( x_0\right ) \setminus \left\{ x_0 \right\}) = \emptyset [/math]

.
se n va a infinito allora x tende a 1.. come ti dicevo, l'idea è quella del limite di una successione, che vedrai più avanti nel corso degli studi

Il professore non ha ancora trattato i limiti di successione (comunque a breve, dopo i numeri complessi e la verifica di un limite). Allora mi chiedo il perché mi è stato assegnato un esercizio se i fondamenti teorici mancano!

[xico87]

edit
sistemato (ma continuano a non piacerci le parentesi).
i limiti di successioni non sono necessari.. però è anche vero che aiutano in questi esercizi. devi solo chiederti dove si accumulano sempre di più i punti x.
effettivamente non so se sono stato rigoroso, volevo solo indirizzarti perchè eri fuori strada. se mi viene in mente qualche idea ti so dire

[Incognita X]

xico87:
edit
sistemato (ma continuano a non piacerci le parentesi).
i limiti di successioni non sono necessari.. però è anche vero che aiutano in questi esercizi. devi solo chiederti dove si accumulano sempre di più i punti x.
effettivamente non so se sono stato rigoroso, volevo solo indirizzarti perchè eri fuori strada. se mi viene in mente qualche idea ti so dire

Ti ringrazio.

[xico87]

ah ecco!
devi dimostrare questo:

[math] |(1 - \frac{1}{3^n}) - 1| \, < \, \epsilon [/math]

con epsilon numero arbitrario (piccolo) positivo.
dve uscire che n è un numero "molto" grande (non posso quantificarlo perchè si esprime in funzione di epsilon)

[Incognita X]

xico87:
ah ecco!
devi dimostrare questo:

[math] |(1 - \frac{1}{3^n}) - 1| \, < \, \epsilon [/math]

con epsilon numero arbitrario (piccolo) positivo.
dve uscire che n è un numero "molto" grande (non posso quantificarlo perchè si esprime in funzione di epsilon)

Grazie! ;)

Quindi è:

[math] - \frac{1}{3^n}< \epsilon < \frac{1}{3^n}[/math]

Ho dato una veloce occhiata ai limiti di successione e in effetti per verificare il limite è necessario risolvere la disequazione:

[math] |y_n - l| \, < \, \epsilon [/math]

E' mica questo? Probabilmente è una domanda stupida, ma se

[math]l[/math]

, come hai detto tu prima, è

[math]+ \infty[/math]

perché tu scrivi -1?

[xico87]

sì ma mi sono accorto che torniamo daccapo. la domanda chiede di dimostrare che 1 è l'unico punto di accumulazione (io invece in quel modo faccio semplicemente vedere che 1 è d'accumulazione quando n va a infinito).. e a me per ora non viene in mente alcun modo che non precluda conoscenze riguardanti limiti. ad ogni modo ho messo -1 perchè se quella funzione tende a 1, si vede che lo scarto tra la funzione nell'intorno di infinito, e il valore che la funzione assume a infinito (1, appunto), deve essere infinitesimo (minore di epsilon)

[Incognita X]

xico87:
sì ma mi sono accorto che torniamo daccapo. la domanda chiede di dimostrare che 1 è l'unico punto di accumulazione (io invece in quel modo faccio semplicemente vedere che 1 è d'accumulazione quando n va a infinito).. e a me per ora non viene in mente alcun modo che non precluda conoscenze riguardanti limiti. ad ogni modo ho messo -1 perchè se quella funzione tende a 1, si vede che lo scarto tra la funzione nell'intorno di infinito, e il valore che la funzione assume a infinito (1, appunto), deve essere infinitesimo (minore di epsilon)

Ah, sì... continuo sempre a pensare ai numeri reali al posto dei naturali. Sarà l'ora...

Non saprei...

Una volta arrivati a [math]-\frac{1}{3^n}

[xico87]

a te cosa hanno spiegato delle succesioni?
edit: n ti deve venire > di log in base 3 di 1/eps (scusa ma non ho voglia di correggere a quest'ora), che è un numero molto grande. resta il fatto che non abbiamo soddisfatto la consegna

edit II
ho trovato queste soluzioni:
http://www.mat.uniroma3.it/users/magrone/2006_07/am01/sol-accumulazione.pdf

anche qui in fin dei conti devi calcolarti il limite per n che tende a infinito. d'altra parte ricordo che a suo tempo ho avuto gli stessi problemi con questi esercizi (li ho capito solo dopo aver fatto i limiti), quindi capisco la difficoltà

[Incognita X]

xico87:
a te cosa hanno spiegato delle successioni?

Niente di niente. Non le ha trattate.

La dispensa del professore è così composta: capitolo sulle nozioni fondamentali (insiemi, quantificatori, funzioni composte, funzioni inverse) cenni di calcolo combiatorio, vettori in 3 dimensioni (coordinate cartesiane e polari), numeri complessi, limiti di successioni, limiti di funzioni, ...

Noi siamo arrivati ai numeri complessi.

[xico87]

guarda sopra che ho modificato

[Incognita X]

xico87:
guarda sopra che ho modificato

Quindi è come dicevi tu.


Il libro (ho scelto il Bramanti, Pagani, Salsa) è solo per un approfondimento.

P.S: Per favore, non citare ( "quotare" ) il messaggio contenente il link. No si sa mai... poi lo cancellerò.

[xico87]

mmm..
non mi piace l'idea di fare geometria e analisi 1 insieme.. cmq il programma direi che c'è, aspetta solo di arrivare a toccare i vari argomenti e poi vedrai che non è impossibile

già cancellato

[ciampax]

Ehm, scusate se vi distruggo una convinzione certa, ma

[math]\left|\left(1-\frac{1}{3^n}\right)-1\right|

[Incognita X]

ciampax:
...che avete scritto voi.

Grazie, Ciampax! Hai ragione...

Xico non c'entra. L'errore è solo mio.

[ciampax]

Oggi pomeriggio, ti scrivo come procedere con questo tipo di esercizi, senza passare per i limiti! :asd

Edit. come promesso, eccoci qua! Allora, partiamo dalla definizione: Se

[math]A\subset\mathbb{R}[/math]

è un sottoinsieme dell'asse reale, un punto

[math]x_0\in\mathbb{R}[/math]

si dice di accumulazione per

[math]A[/math]

se per ogni intorno [math]I(x_0,r)=\{x\in\mathbb{R}\ : |x-x_0|

[Incognita X]

Grazie per la spiegazione! :satisfied

Della prima parte ho capito tutto. Le difficoltà cominciano da...

[quote]ciampax:
Osserva inoltre che, per ogni n fissato si ha

[math]|1-1/3^n-(1-1/3^{n+1})|=2/3^{n+1}[/math]

,

per cui per ogni punto

[math]x_0\in(1-3^n,1-3^{n+1})[/math]

preso [math]r_n=1/3^{n+1}

[BIT5]

[math]|1-1/3^n-(1-1/3^{n+1})|=[/math]

[math]|1-1/3^n-1+1/3^{n+1})|=[/math]

[math]|-1/3^n+1/3^{n+1})|=[/math]

Sapendo che

[math] 3^{n+1}=3 \cdot 3^n [/math]

(infatti

[math] a^m a^n= a^{m+n} [/math]

)

[math]|-3/3^{n+1}+1/3^{n+1})|= | - \frac{2}{3^{n+1}}|[/math]

l'argomento e' senz'altro negativo (abbiamo un rapporto tra due numeri positivi e un meno davanti)

[math] = \frac{2}{3^{n+1}} [/math]

[Incognita X]

Grazie BIT5, ma non era questo il problema. Non ho capito proprio il perché Ciampax è giunto a una tale espressione.

[xico87]

per farti vedere la distanza tra due termini adiacenti della successione, anche se mi pare ci sia un'imprecisione dopo: se assumi x0 come punto medio tra 1-1/3^n e 1-1/3^(n+1), e il raggio minore della metà della distanza trovata, allora puoi vedere che l'intorno I(x0, r)\{x0} non contiene punti di A. allora puoi concludere che x0 non è di accumulazione per A.

edit
il passaggio per i limiti c'è sempre, perchè devi immaginare che n diventi sempre più grande (ovvero un limite per n che va a +infinito)