Punti di non derivabilita' e f. definite a tratti
Ammettiamo di avere una di quelle antipatiche funzioni definite a tratti.
Verifico la continuita' mediante i limiti unilaterali nei punti che interessano.
Poniamo che la funzione sia ovunque continua: ora, per verificare e classificare i pti di non derivabilita' (eventuali), il metodo canonico e' quello di calcolare i limiti destri e sinistri dei rapporti incrementali, cioe', calcolare le derivate dx e sx mediante la definizione.
Vorrei sapere se c'e' un metodo meno difficile e piu' pratico.
Grazie.
Verifico la continuita' mediante i limiti unilaterali nei punti che interessano.
Poniamo che la funzione sia ovunque continua: ora, per verificare e classificare i pti di non derivabilita' (eventuali), il metodo canonico e' quello di calcolare i limiti destri e sinistri dei rapporti incrementali, cioe', calcolare le derivate dx e sx mediante la definizione.
Vorrei sapere se c'e' un metodo meno difficile e piu' pratico.
Grazie.
Risposte
"balnazzar":
Vorrei sapere se c'e' un metodo meno difficile e piu' pratico.
Perchè trovi difficile e poco pratico il calcolo delle derivate destra e sinistra?
Se le curve sono facilmente rappresentabili, potresti riconoscere punti di non derivabilità dal grafico, ma il metodo del calcolo delle due derivate è senza dubbio il più efficace.
Puoi calcolarti le derivate con le formule però
1. le formule di derivazione valgono solo all'interno dell'intervallo di definizione e non nei suoi estremi;
2. devi avere calcolato a parte la continuità, perchè il calcolo delle derivate attraverso le formule non ti permette di controllarla
Ti faccio un esempio
$f(x)=\{(-2x-1, x<-1),(x^2, -1<=x<1),(x^3, x>=1):}$
Puoi verificare facilmente che la funzione è continua,
se per calcolare le derivate usi le formule di derivazione sei in grado di calcolarle per tutti i punti escluso $-1$ e $1$
$f(x)=\{(-2, x<-1),(2x, -11):}$
per avere le derivate in $-1$ e $1$ puoi
a. procedere con il loro calcolo attraverso la definizione, oppure
b. calcolare il limite delle derivate appena calcolate dato che la funzione, come hai già verificato, è continua
$lim_(x->-1^-) f'(x)=lim_(x->-1^-) -2=-2$ e $lim_(x->-1^+) f'(x)=lim_(x->-1^+) 2x=-2$
i due limiti coincidono, quindi la funzione è derivabile in $-1$
$lim_(x->1^-) f'(x)=lim_(x->1^-) 2x=2$ e $lim_(x->1^+) f'(x)=lim_(x->1^+) 3x^2=3$
i due limiti non coincidono quindi la funzione non è derivabile in $1$, e poiché i due limiti sono diversi, ma finiti, in $1$ c'è un punto angoloso
1. le formule di derivazione valgono solo all'interno dell'intervallo di definizione e non nei suoi estremi;
2. devi avere calcolato a parte la continuità, perchè il calcolo delle derivate attraverso le formule non ti permette di controllarla
Ti faccio un esempio
$f(x)=\{(-2x-1, x<-1),(x^2, -1<=x<1),(x^3, x>=1):}$
Puoi verificare facilmente che la funzione è continua,
se per calcolare le derivate usi le formule di derivazione sei in grado di calcolarle per tutti i punti escluso $-1$ e $1$
$f(x)=\{(-2, x<-1),(2x, -1
per avere le derivate in $-1$ e $1$ puoi
a. procedere con il loro calcolo attraverso la definizione, oppure
b. calcolare il limite delle derivate appena calcolate dato che la funzione, come hai già verificato, è continua
$lim_(x->-1^-) f'(x)=lim_(x->-1^-) -2=-2$ e $lim_(x->-1^+) f'(x)=lim_(x->-1^+) 2x=-2$
i due limiti coincidono, quindi la funzione è derivabile in $-1$
$lim_(x->1^-) f'(x)=lim_(x->1^-) 2x=2$ e $lim_(x->1^+) f'(x)=lim_(x->1^+) 3x^2=3$
i due limiti non coincidono quindi la funzione non è derivabile in $1$, e poiché i due limiti sono diversi, ma finiti, in $1$ c'è un punto angoloso
Ecco, Amelia, a me interessava particolarmente la possibilita' B che hai detto.
Infatti, calcolare il limite (nel punto di incollamento) della generica derivata risulta a mio avviso notevolmente piu' pratico che calcolare le derivate destra e sinistra mediante la definizione.
Tuttavia, leggendo qua e la mi e' sembrato di capire (e di questo vorrei una conferma) che l'esistenza del limite della derivata nel punto di incollamento esprime una condizione solo sufficiente per la derivabilita'. Ovvero, la non esistenza del limite non ci permette di escludere a priori l'esistenza della derivata in quel punto.
Non so se mi spiego.
Grazie come al solito.
Infatti, calcolare il limite (nel punto di incollamento) della generica derivata risulta a mio avviso notevolmente piu' pratico che calcolare le derivate destra e sinistra mediante la definizione.
Tuttavia, leggendo qua e la mi e' sembrato di capire (e di questo vorrei una conferma) che l'esistenza del limite della derivata nel punto di incollamento esprime una condizione solo sufficiente per la derivabilita'. Ovvero, la non esistenza del limite non ci permette di escludere a priori l'esistenza della derivata in quel punto.
Non so se mi spiego.
Grazie come al solito.
Al contrario, la condizione è necessaria, ma non sufficiente, perché diventi sufficiente è necessario provare prima a parte la continuità.
Considera, ad esempio
$f(x)=\{(x^2+x, x<1),(x^3, x>=1):}$
In $1$ la funzione non è continua. Se calcoli la derivata con il limite del rapporto incrementale si vede subito che la funzione non è derivabile, anche se non ne hai calcolato a priori la continuità.
Se, invece calcoli la derivata prima
$f'(x)=\{(2x+1, -11):}$ e ne fai il limite per x che tende a 1 ottieni
$lim_(x->1^-) f'(x)=lim_(x->1^-) 2x+1=3$ e $lim_(x->1^+) f'(x)=lim_(x->1^+) 3x^2=3$
i due limiti coincidono quindi la funzione sembra derivabile in $1$, ma non lo è perché non è continua.
Considera, ad esempio
$f(x)=\{(x^2+x, x<1),(x^3, x>=1):}$
In $1$ la funzione non è continua. Se calcoli la derivata con il limite del rapporto incrementale si vede subito che la funzione non è derivabile, anche se non ne hai calcolato a priori la continuità.
Se, invece calcoli la derivata prima
$f'(x)=\{(2x+1, -1
$lim_(x->1^-) f'(x)=lim_(x->1^-) 2x+1=3$ e $lim_(x->1^+) f'(x)=lim_(x->1^+) 3x^2=3$
i due limiti coincidono quindi la funzione sembra derivabile in $1$, ma non lo è perché non è continua.
E sin qui ci siamo. Mettiamoci pero' nel caso in cui si sia gia' verificata la continuita' nel punto.
Consideriamo:
f(x)= [ x^2*sin(1/x) per x!=0, 0 per x=0 ]
Posso a questo punto verificare la derivabilita' usando i limiti destro e sinistro di f'(x) nel punto 0?
Quello che mi lascia perplesso e' il limite per x-->0 del termine cos(1/x) che compare nella derivata.
Consideriamo:
f(x)= [ x^2*sin(1/x) per x!=0, 0 per x=0 ]
Posso a questo punto verificare la derivabilita' usando i limiti destro e sinistro di f'(x) nel punto 0?
Quello che mi lascia perplesso e' il limite per x-->0 del termine cos(1/x) che compare nella derivata.
Il fatto è che sei caduto in un esempio "famoso": una funzione derivabile ma non di classe $C^1$, ovvero con derivata non continua in $x=0$. Un suggerimento: tienilo a mente, potrà servirti in futuro.
"Luca.Lussardi":
Il fatto è che sei caduto in un esempio "famoso": una funzione derivabile ma non di classe $C^1$, ovvero con derivata non continua in $x=0$. Un suggerimento: tienilo a mente, potrà servirti in futuro.
Aspetta...
Intendi dire che non e' di classe C^1 punto e basta oppure che non e' di classe C^1 in x=0 ?
Tencs
Non è di classe $C^1(\RR)$, poichè la derivata prima non è continua in $x=0$. E' invece $C^\infty(A)$ per ogni aperto $A$ di $\RR$ non contenente $0$.
"Luca.Lussardi":
Non è di classe $C^1(\RR)$, poichè la derivata prima non è continua in $x=0$. E' invece $C^\infty(A)$ per ogni aperto $A$ di $\RR$ non contenente $0$.
Penso di aver capito: una funzione e' detta essere di classe C^n in un intervallo quando in ogni punto di quell'intervallo la sua derivata n-esima e' continua.
Ok Grazie.
Esattamente, è derivabile $n$ volte e l'ultima derivata è continua.
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