Provare che tre punti sono allineati
Sono date due circonferenze, di centri $Q$ ed $O$ rispettivamente. Sulla prima si prende il raggio $QB$ e sulla seconda il raggio $OA$ in modo che detti raggi siano paralleli. Quindi, uniti i centri $Q$ ed $O$, si traccia il segmento $AB$ e la sua intersezione con $QO$ viene nominata $C$.
Si costruiscono poi le circonferenze di diametro $QC$ e $OC$: queste sono tangenti esternamente. Si nomina $E$ l'intersezione della circonferenza di diametro $QC$ con la circonferenza di centro $Q$ che sta dalla stessa parte di $B$ rispetto a $QO$; si nomina $D$ l'intersezione tra la circonferenza di diametro $OC$ e quella di centro $O$ che sta dalla stessa parte di $A$ rispetto a $OC$.
Gli angoli $\hat{QEC}$ e $\hat{CDO}$ sono evidentemente retti.
Provare che $E,C,D$ sono allineati.
Proposte, idee, suggerimenti?
Il fatto che $\hat{QEC}=\hat{CDO}=pi/2$ è l'unica cosa che sono riuscito a tirare fuori. Per la cronaca, si tratta di una costruzione di disegno tecnico che stavo cercando di giustificare geometricamente: tale costruzione è quella che consente, date due circonferenze, di tracciare la tangenti comuni che stanno in mezzo alle circonferenze.
Si costruiscono poi le circonferenze di diametro $QC$ e $OC$: queste sono tangenti esternamente. Si nomina $E$ l'intersezione della circonferenza di diametro $QC$ con la circonferenza di centro $Q$ che sta dalla stessa parte di $B$ rispetto a $QO$; si nomina $D$ l'intersezione tra la circonferenza di diametro $OC$ e quella di centro $O$ che sta dalla stessa parte di $A$ rispetto a $OC$.
Gli angoli $\hat{QEC}$ e $\hat{CDO}$ sono evidentemente retti.
Provare che $E,C,D$ sono allineati.
Proposte, idee, suggerimenti?
Il fatto che $\hat{QEC}=\hat{CDO}=pi/2$ è l'unica cosa che sono riuscito a tirare fuori. Per la cronaca, si tratta di una costruzione di disegno tecnico che stavo cercando di giustificare geometricamente: tale costruzione è quella che consente, date due circonferenze, di tracciare la tangenti comuni che stanno in mezzo alle circonferenze.
Risposte
Scusa mi sfugge una cosa... "uniti i centri" che vuol dire?? Uniti da un segmento QO? Se è così, come fa il segmento AB a intersecare QO se QB e OA sono paralleli?
Sì, uniti i centri vuol dire che si traccia il segmento che ha per estremi i centri in questione.
L'intersezione c'è perché i raggi vengono presi paralleli ma da parti opposte rispetto a $QO$, quindi per il postulato di separazione del piano, una volta uniti devono tagliare $QO$.
L'intersezione c'è perché i raggi vengono presi paralleli ma da parti opposte rispetto a $QO$, quindi per il postulato di separazione del piano, una volta uniti devono tagliare $QO$.
alcune precisazioni:
ma i raggi $QB$ e $OA$ devono essere paralleli ma anche stare da parti diverse rispetto alla retta per $QO$, giusto? altrimenti non ci sarebbe intersezione con QO.
ma i raggi $QB$ e $OA$ devono essere paralleli ma anche stare da parti diverse rispetto alla retta per $QO$, giusto? altrimenti non ci sarebbe intersezione con QO.
aaah i raggi sono opposti 
ok.
ok.
poiché QB//OA, i triangoli QBC e COA hanno gli angoli congruenti, quindi sono simili.
dalla similitudine segue la proporzione tra i lati:
QB:OA=QC:CO
confronto i triangoli rettangoli QEC e COD. sostituisco nella proporzione precedente QE=QB e OD=OA, ottenendo:
QE:OD=QC:CO
dunque i triangoli rettangoli sono simili, ed in particolare i due angoli di vertice C (QCE e DCO) sono congruenti.
C appartiene alla retta QO, dunque deve appartenere anche alla retta ED, ed i due angoli congruenti sono opposti al vertice.
a parte qualche dettaglio non specificato, è chiaro il percorso? sei convinto della tesi? ciao.
dalla similitudine segue la proporzione tra i lati:
QB:OA=QC:CO
confronto i triangoli rettangoli QEC e COD. sostituisco nella proporzione precedente QE=QB e OD=OA, ottenendo:
QE:OD=QC:CO
dunque i triangoli rettangoli sono simili, ed in particolare i due angoli di vertice C (QCE e DCO) sono congruenti.
C appartiene alla retta QO, dunque deve appartenere anche alla retta ED, ed i due angoli congruenti sono opposti al vertice.
a parte qualche dettaglio non specificato, è chiaro il percorso? sei convinto della tesi? ciao.
"adaBTTLS":
sostituisco nella proporzione precedente QE=QB e OD=OA, ottenendo:
QE:OD=QC:CO
Dunque i tre punti sono allineati solo per circonferenze aventi raggio uguale?
@ DavideV
non ho usato la proprietà di essere allineati.
la proporzione da cui sono partita dipendeva dalla similitudine dei due triangoli.
poi, visto che se c'è una proporzione tra segmenti c'è anche una proporzione tra le rispettive misure, sostituisco semplicemente segmenti congruenti...
dalla nuova proporzione ricavo la similitudine di due nuovi triangoli (era sufficiente perché sappiamo già che sono triangoli rettangoli)
OK?
non ho usato la proprietà di essere allineati.
la proporzione da cui sono partita dipendeva dalla similitudine dei due triangoli.
poi, visto che se c'è una proporzione tra segmenti c'è anche una proporzione tra le rispettive misure, sostituisco semplicemente segmenti congruenti...
dalla nuova proporzione ricavo la similitudine di due nuovi triangoli (era sufficiente perché sappiamo già che sono triangoli rettangoli)
OK?
Per me è OK.
Ma senza usare le trasformazioni geometriche? E' possibile produrre una prova della collinearità di $E,C,D$ senza ricorrere alla similitudine?
Ma senza usare le trasformazioni geometriche? E' possibile produrre una prova della collinearità di $E,C,D$ senza ricorrere alla similitudine?
adesso che mi ci fai pensare, effettivamente sono due omotetie.
io però non ho usato le trasformazioni, ma solo le similitudini tra triangoli in senso "molto classico"....
è solo una questione di congrenze tra angoli... ti puoi divertire a passaggi alternativi, ma penso che non si possa fare a meno del concetto di "figure simili".
ciao.
io però non ho usato le trasformazioni, ma solo le similitudini tra triangoli in senso "molto classico"....
è solo una questione di congrenze tra angoli... ti puoi divertire a passaggi alternativi, ma penso che non si possa fare a meno del concetto di "figure simili".
ciao.
"adaBTTLS":
adesso che mi ci fai pensare, effettivamente sono due omotetie.
io però non ho usato le trasformazioni, ma solo le similitudini tra triangoli in senso "molto classico"....
è solo una questione di congrenze tra angoli... ti puoi divertire a passaggi alternativi, ma penso che non si possa fare a meno del concetto di "figure simili".
ciao.
Io pensavo alle similitudini proprio nel senso di omotetie: è la prima cosa di cui mi sono accorto quando ho iniziato il problema.
Poi mi sono impuntato solo sulle congruenze tra angoli senza similitudini e qui mi impantano...
No scusate tutti... sul pc dove stavo prima non vedevo l'immagine ed io avevo supposto che i due cerchi avessero circonferenza uguale...
Ok e grazie!
Ok e grazie!
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