Proprietà logaritmi

[gcappellotto]

Salve a tutti

vorrei dimostrare la seguente proprietà dei logaritmi:
$e^ln(x)=x$
la mia dimostrazione è la seguente:
suppongo vera l'uguaglianza: $e^ln(x)=x$
$ln(x)*ln(e)=ln(x)$
$ln(x)*1=ln(x)$
$x=x$

Gradirei le vostre osservazioni.
Grazie e saluti
Giovanni C.

[Røland11]

Ciao!
Se la tesi che vuoi dimostrare è $e^{ln(x)}=x$ non puoi cominciare la dimostrazione supponendo vera la tesi, perchè quello è proprio ciò che vuoi dimostrare.
Non ho mai visto la dimostrazione di questa proprietà, ma cosi a occhio e croce dovrebbero andare bene i tuoi passaggi ma svolti al contrario:

parto da $x=x$ (sempre vera)
applico il logaritmo ottenendo $ln(x)*1=ln(x) rightarrow ln(x)*ln(e)=ln(x) rightarrow ln(e^{ln(x)})=ln(x)$
infine eguagli gli argomenti ottenendo la tua tesi $e^{ln(x)}=x.$

[Gi81]

@gcappellotto: L'idea è buona, va solo formalizzata meglio.
Prima di tutto quell'ugualianza non è vera $AA x in RR$, ma solo $AA x in RR^+$ (cioè per i soli numeri reali positivi).
Poi io ragionerei così:
$AA x in RR^+$, $[e^(ln(x))=x] <=> [ln(e^(ln(x)))=ln(x)]<=> [ln(x)*ln(e)=ln(x)] <=> [ln(x)*1=ln(x)] <=> [ln(x)=ln(x)]$
Quindi, se $x>0$, l'equazione $e^(ln(x))=x$ è equivalente (ovvero ha le stesse soluzioni) all'equazione $ln(x)=ln(x)$, che ha come soluzione $x>0$.
Quindi puoi affermare che $AA x>0 $ si ha $e^(ln(x))=x$

@Røland: anche la tua idea è corretta, occhio però che quando applichi il logaritmo devi assicurarti che entrambi i membri siano positivi

[Røland11]

Si, hai ragione
Quindi $forall x in R^{+} rightarrow x=x$ e poi si continua come detto sopra.

[Seneca1]

Ma se il logaritmo in base $e$ di $x$ è quel numero a cui devo elevare la base $e$ per ottenere $x$ (per definizione di logaritmo naturale!) che senso ha dimostrare questo fatto?