Proprietà formali
Scusate, cosa si intende per Proprietà formali nella matematica ?
Ciao
fabri66
p.s. Abbiate pazienza per le mie domande banali.
Ciao
fabri66
p.s. Abbiate pazienza per le mie domande banali.
Risposte
Non è una domanda banale, semplicemente "non è una domanda da minestra". 
E' troppo generale: per sapere il significato di formale basta il dizionario. In pratica le regole in matematica (e non solo) sono formali quando espresse in maniera precisa con attenzione ai formalismi della materia (cioè vengono usati i simboli più comuni).
Ma per una buona risposta, ci vuole una domanda ben formulata...
E' troppo generale: per sapere il significato di formale basta il dizionario. In pratica le regole in matematica (e non solo) sono formali quando espresse in maniera precisa con attenzione ai formalismi della materia (cioè vengono usati i simboli più comuni).
Ma per una buona risposta, ci vuole una domanda ben formulata...
La domanda in oggetto mi è sorta in seguito alla seguente affermazione :
la regola dei segni scelta dai matematici è l'unica per la quale l'addizione e la moltiplicazione nell'insieme dei numeri relativi continuano a godere delle stesse proprietà formali di cui godono le omonime operazioni nell'insieme dei numeri naturali.
Dunque, perché i numeri relativi devono godere delle stesse proprietà formali dei numeri naturali?
Per risopndere a questa domanda devo capire cosa si intende per proprietà formali.
Grazie per la Tua pazienza.
la regola dei segni scelta dai matematici è l'unica per la quale l'addizione e la moltiplicazione nell'insieme dei numeri relativi continuano a godere delle stesse proprietà formali di cui godono le omonime operazioni nell'insieme dei numeri naturali.
Dunque, perché i numeri relativi devono godere delle stesse proprietà formali dei numeri naturali?
Per risopndere a questa domanda devo capire cosa si intende per proprietà formali.
Grazie per la Tua pazienza.
"fabri66":
La domanda in oggetto mi è sorta in seguito alla seguente affermazione :
la regola dei segni scelta dai matematici è l'unica per la quale l'addizione e la moltiplicazione nell'insieme dei numeri relativi continuano a godere delle stesse proprietà formali di cui godono le omonime operazioni nell'insieme dei numeri naturali.
Dunque, perché i numeri relativi devono godere delle stesse proprietà formali dei numeri naturali?
Per risopndere a questa domanda devo capire cosa si intende per proprietà formali.
Grazie per la Tua pazienza.
In questo caso ci si riferisce alle proprietà formali delle operazioni di somma e prodotto definite tra numeri interi, ossia: 1) proprietà commutativa della somma e del prodotto; 2) proprietà associativa della somma e prodotto; 3) poprietà distributiva della somma rispetto al prodotto; 4) elemento neutro rispetto alla somma, $0$ 5) elemento neutro rispetto al prodotto, $1$.
Ok, si può quindi affermare che, nell'insieme dei numeri interi, le proprietà formali devono essere rispettate, ne consegue che, per esempio, il prodotto tra numeri negativi da come risultato un numero positivo.
ciao fabri66
ciao fabri66
in quest'ultima afermazione, quando dici "le proprietà formali devono essere rispettate" alle proprietà di quale insieme ti riferisci?
Mi riferisco all'insieme degli interi razionali.
Accetto comunque qualsiasi chiarimento, suggerimento o spiegazione ulteriore in merito alla regola dei segni.
Grazie a tutti
p.s. ( anche il consiglio di letture sull'argomento sono gradite )
fabri66
Accetto comunque qualsiasi chiarimento, suggerimento o spiegazione ulteriore in merito alla regola dei segni.
Grazie a tutti
p.s. ( anche il consiglio di letture sull'argomento sono gradite )
fabri66
allora quello che ti si vuol dire è che:
partiamo dai numeri naturali in questo insieme si definiscono due operazioni diciamo "di base", le operazioni di somma e prodotto. Ora sai che queste operazioni godono di certe proprietà (commutatuvità, distributività... elementi neutri..). Quando si passa a studiare altri insiemi, che includono l'insieme dei numeri naturali, occorre riportare in questi insiemi le operazioni di somma e prodotto.
Cioè sto dicendo, ho i numeri 1,2,3,...(naturali) voglio passare ai numeri interi -6,-7,-8...0, 1,2,... Bene, dato questo nuovo insieme devo definire in esso di nuvo le operazioni di somma e prodotto. Ma come le definisco? A caso?Ma poi è proprio necessario che le definisco di nuovo, dato che le avevo già definite in N?
Cioè partiamo da un insieme di "livello inferioire" e passiamo ad un altro insieme di numeri che contiene il precedente. In questo passaggio ci dobbiamo portare con noi anche le operazioni (somma e prodotto) che avevamo definito sui numeri naturali con tutte le loro proprietà ed è chiaro che queste operazioni nei nuovi insiemi non possono essere definite diversamente da come le abbiamo definite nell'insieme dei numeri naturali, né le famose "proprietà formali" di cui godono somma e prodotto nei numeri naturali possono essere diverse dalle proprietà di somma e prodotto eseguite sui numeri, ad esempio interi o razionali.
Non possono essere diverse perché altrimenti avremmo una moltiplicazione tra 2 numeri, ad esempio interi relativi, che non ha lo stesso significato della moltiplicazione tra 2 numeri naturali; e siccome gli interi relativi contengono anche i naturali, avrei che: nell'insieme N 2x(3+1) mi da un certo risultato e nell'insieme dei numeri relativi un risultato diverso. Ora, dato che nell'insieme dei numeri interi relativi sono presenti i numeri "col segno" quando vado a fare moltiplicazioni e addizioni potrebbe comparire un nuovo signore, il segno meno davanti al numero. Allora come ci comportiamo? come facciamo queste operazioni senza violare le regole che valgono per esse nei numeri naturali? Si introduce "un trucchetto", una particolare convenzione che è appunto la regola dei segni. Grazie a questa regola io ho esteso le operazioni di somma e protto da N a Z senza "intaccare" la definizione che avevo dato in N. Ma ho dovuto aggiungere una regola in Z, se vuoi un'ulteriore proprità, in modo da poter gestire il caso di operazioni con numeri negativi che in N non esistono.
E ad esempio (qui mi pare dall'emoticon che non ti era molto chiaro) "Ok, si può quindi affermare che, nell'insieme dei numeri interi, le proprietà formali devono essere rispettate, ne consegue che, per esempio, il prodotto tra numeri negativi da come risultato un numero positivo." Per tutto quello che ho detto, se meno per meno non facesse +, allora le operazioni di + e x non sarebbero più le stesse in N e in Z.
partiamo dai numeri naturali in questo insieme si definiscono due operazioni diciamo "di base", le operazioni di somma e prodotto. Ora sai che queste operazioni godono di certe proprietà (commutatuvità, distributività... elementi neutri..). Quando si passa a studiare altri insiemi, che includono l'insieme dei numeri naturali, occorre riportare in questi insiemi le operazioni di somma e prodotto.
Cioè sto dicendo, ho i numeri 1,2,3,...(naturali) voglio passare ai numeri interi -6,-7,-8...0, 1,2,... Bene, dato questo nuovo insieme devo definire in esso di nuvo le operazioni di somma e prodotto. Ma come le definisco? A caso?Ma poi è proprio necessario che le definisco di nuovo, dato che le avevo già definite in N?
Cioè partiamo da un insieme di "livello inferioire" e passiamo ad un altro insieme di numeri che contiene il precedente. In questo passaggio ci dobbiamo portare con noi anche le operazioni (somma e prodotto) che avevamo definito sui numeri naturali con tutte le loro proprietà ed è chiaro che queste operazioni nei nuovi insiemi non possono essere definite diversamente da come le abbiamo definite nell'insieme dei numeri naturali, né le famose "proprietà formali" di cui godono somma e prodotto nei numeri naturali possono essere diverse dalle proprietà di somma e prodotto eseguite sui numeri, ad esempio interi o razionali.
Non possono essere diverse perché altrimenti avremmo una moltiplicazione tra 2 numeri, ad esempio interi relativi, che non ha lo stesso significato della moltiplicazione tra 2 numeri naturali; e siccome gli interi relativi contengono anche i naturali, avrei che: nell'insieme N 2x(3+1) mi da un certo risultato e nell'insieme dei numeri relativi un risultato diverso. Ora, dato che nell'insieme dei numeri interi relativi sono presenti i numeri "col segno" quando vado a fare moltiplicazioni e addizioni potrebbe comparire un nuovo signore, il segno meno davanti al numero. Allora come ci comportiamo? come facciamo queste operazioni senza violare le regole che valgono per esse nei numeri naturali? Si introduce "un trucchetto", una particolare convenzione che è appunto la regola dei segni. Grazie a questa regola io ho esteso le operazioni di somma e protto da N a Z senza "intaccare" la definizione che avevo dato in N. Ma ho dovuto aggiungere una regola in Z, se vuoi un'ulteriore proprità, in modo da poter gestire il caso di operazioni con numeri negativi che in N non esistono.
E ad esempio (qui mi pare dall'emoticon che non ti era molto chiaro) "Ok, si può quindi affermare che, nell'insieme dei numeri interi, le proprietà formali devono essere rispettate, ne consegue che, per esempio, il prodotto tra numeri negativi da come risultato un numero positivo." Per tutto quello che ho detto, se meno per meno non facesse +, allora le operazioni di + e x non sarebbero più le stesse in N e in Z.
Grazie Raff5184, sei stato molto chiaro davvero!
Buona Giornata e a presto su questo forum.
Fabri66
Buona Giornata e a presto su questo forum.
Fabri66
Io non condivido molto l'affermazione "la regola dei segni scelta dai matematici" in quanto non è che le regole dei segni sono state "scelte" ma sono dimostrabili. In generale si dimostra che per un qualunque anello valgono le regole dei segni a noi note per gli interi. Poi dimostrando che $ZZ$ è un anello si ha anche che in esso valgono le regole dei segni.
Quello che voglio dire è che le regole dei segni non sono un DOGMA scelto dai matematici come appare dall'affermazione riportata, e non è nemmeno una convenzione, ma sono delle proprietà dimostrabili delle operazioni di un anello.
Tra l'altro ho notato che molti libri delle superiori considerano una definizione negli interi la legge dell'annullamento (0*a=0) che in realtà è anch' essa una proprietà dimostrabile. La legge dell'annullamento del prodotto è una definizione solo in $NN$ perchè non essendo un anello non è possibile dimostrare tale proprietà. Quindi per definire la moltiplicazione in modo corretto è necessario porre la moltiplicazione per 0 pari a 0.
In effetti non capisco perchè alle superiori debbano, pensando di semplificare le cose, dare definizioni errate (ad esempio mi ricordo che nel mio libro l'integrale veniva definito direttamente come la primitiva di una funzione che in realtà è un teorema conseguenza di un numero consistente di altri teoremi). Le strutture algebriche e le loro proprietà non sono argomenti inaccessibili e quindi non capisco perchè tali argomenti non vengano fatti come si deve invece che dare definizioni errate che fanno solo confusione quando poi si affrontano tali argomenti a livello più avanzato.
Quello che voglio dire è che le regole dei segni non sono un DOGMA scelto dai matematici come appare dall'affermazione riportata, e non è nemmeno una convenzione, ma sono delle proprietà dimostrabili delle operazioni di un anello.
Tra l'altro ho notato che molti libri delle superiori considerano una definizione negli interi la legge dell'annullamento (0*a=0) che in realtà è anch' essa una proprietà dimostrabile. La legge dell'annullamento del prodotto è una definizione solo in $NN$ perchè non essendo un anello non è possibile dimostrare tale proprietà. Quindi per definire la moltiplicazione in modo corretto è necessario porre la moltiplicazione per 0 pari a 0.
In effetti non capisco perchè alle superiori debbano, pensando di semplificare le cose, dare definizioni errate (ad esempio mi ricordo che nel mio libro l'integrale veniva definito direttamente come la primitiva di una funzione che in realtà è un teorema conseguenza di un numero consistente di altri teoremi). Le strutture algebriche e le loro proprietà non sono argomenti inaccessibili e quindi non capisco perchè tali argomenti non vengano fatti come si deve invece che dare definizioni errate che fanno solo confusione quando poi si affrontano tali argomenti a livello più avanzato.
cosa si intende con "IL PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLE PROPRIETÀ FORMALI"?
Se vuoi fare una domanda, l’operazione è gradita. Andare a scomodare una discussione di 15 anni fa non è il caso
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