Proporzioni e teorema della bisettrice
Buongiorno
vorrei un chiarimento sul seguente esercizio
"in un triangolo rettangolo ABC l'ipotenusa BC supera il cateto AB di 12 cm. La bisettrice di ACB divide il cateto AB in parti proporzionali ai numeri 8 e 10. Calcola area e perimetro del triangolo" (soluz. A =216cm^2 / 2p= 72 cm)
1° passo è quello di applicare il teorema della bisettrice di un angolo interno ricavando la proporzione con gli altri 2 lati e uguagliarla alla proporzione data dal problema.
L'esercizio l'ho risolto per via algebrica
- ricavando AC dalla proporzione e sostituendo il valore di BC (AC viene quindi espresso in funzione di AB)
- applicando Pitagora al triangolo ovvero AC^2 = BC^2 - AB^2
- ottengo un'equazione di 2° grado in AB, risolvo, solo 1 soluzione accettabile, trovo tutti i lati e posso concludere.
Qual è il dubbio? la risoluzione algebrica
il problema viene proposto in un contesto geometrico di esercizi sulle proporzioni..mi è rimasto il dubbio che ci sia una soluzione alternativa a quella algebrica, cioè strettamente legata alle operazioni sulle proporzioni
volevo un confronto..grazie mille!
vorrei un chiarimento sul seguente esercizio
"in un triangolo rettangolo ABC l'ipotenusa BC supera il cateto AB di 12 cm. La bisettrice di ACB divide il cateto AB in parti proporzionali ai numeri 8 e 10. Calcola area e perimetro del triangolo" (soluz. A =216cm^2 / 2p= 72 cm)
1° passo è quello di applicare il teorema della bisettrice di un angolo interno ricavando la proporzione con gli altri 2 lati e uguagliarla alla proporzione data dal problema.
L'esercizio l'ho risolto per via algebrica
- ricavando AC dalla proporzione e sostituendo il valore di BC (AC viene quindi espresso in funzione di AB)
- applicando Pitagora al triangolo ovvero AC^2 = BC^2 - AB^2
- ottengo un'equazione di 2° grado in AB, risolvo, solo 1 soluzione accettabile, trovo tutti i lati e posso concludere.
Qual è il dubbio? la risoluzione algebrica
il problema viene proposto in un contesto geometrico di esercizi sulle proporzioni..mi è rimasto il dubbio che ci sia una soluzione alternativa a quella algebrica, cioè strettamente legata alle operazioni sulle proporzioni
volevo un confronto..grazie mille!
Risposte
Ci sono due condizioni che devi sfruttare, ovvero che si tratta di un triangolo rettangolo e che l'ipotenusa BC supera il cateto AB di 12 cm che mi pare che rendano ben difficile una soluzione solo basata sulle proporzioni.
Questo a meno di non "truccare", ovvero di considerare che la soluzione sia costituita da tutti numeri interi e quindi AB dovrebbe essere perfettamente divisibile per 10+8=18. Ovvero varrà 18 o un multiplo dello stesso. Per AB=18, si ottiene BC=30, AC=8/10 BC = 24 che soddisfa anche al fatto che il triangolo sia rettangolo e quindi, supponendo che non vi siano altre soluzioni, è la soluzione.
Questo a meno di non "truccare", ovvero di considerare che la soluzione sia costituita da tutti numeri interi e quindi AB dovrebbe essere perfettamente divisibile per 10+8=18. Ovvero varrà 18 o un multiplo dello stesso. Per AB=18, si ottiene BC=30, AC=8/10 BC = 24 che soddisfa anche al fatto che il triangolo sia rettangolo e quindi, supponendo che non vi siano altre soluzioni, è la soluzione.
Grazie mille Ingres..continuo a rifletterci, usando anche la tua riflessione
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