Produttoria e polinomi
Buongiorno.
Ho preso alcuni appunti durante una lezioni di matematica. Il problema è sorto quando ho provato a rileggere i miei appunti...
Nel quaderno ho scritto:
PRODUTTORIA
(Fin qui nessun problema)
Un polinomio può essere scritto nella forma
Pensiamo di conoscere gli zeri del polinomio
(
La velocità con la quale devo scrivere gli appunti non mi permette di ragionar molto su quello che scrivo, così succede che se prendo gli appunti non capisco mentre se provo a seguire il professore in un primo momento capisco, ma appena ritorno a casa dimentico... aiuto!
Mi potreste gentilmente spiegare i passaggi, magari con un esempio "numerico"? Non ho ben capito come poter descrivere un polinomio con una produttoria (anche se il concetto di produttoria l'ho afferrato).
Vi ringrazio
Ho preso alcuni appunti durante una lezioni di matematica. Il problema è sorto quando ho provato a rileggere i miei appunti...
Nel quaderno ho scritto:
PRODUTTORIA
[math]\prod_{i=1}^{n}a_i = a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot ... \cdot a_n[/math]
(Fin qui nessun problema)
Un polinomio può essere scritto nella forma
[math]P_n(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ ... + a_1x + a_0[/math]
Pensiamo di conoscere gli zeri del polinomio
(
[math]P_n(x) : P_n(\overline{x}) | P_n(\overline{x_1})=0, \forall i \in N_0[/math]
).[math]P_n(x) = x_n(x \cdot \overline{x_1}) \cdot (x \cdot \overline{x_2}) \cdot ... \cdot x_n(x \cdot \overline{x_n})[/math]
[math]\Rightarrow P_n(x) = a_n \cdot \prod_{i=1}^{n}(x-\overline{x_i})[/math]
La velocità con la quale devo scrivere gli appunti non mi permette di ragionar molto su quello che scrivo, così succede che se prendo gli appunti non capisco mentre se provo a seguire il professore in un primo momento capisco, ma appena ritorno a casa dimentico... aiuto!
Mi potreste gentilmente spiegare i passaggi, magari con un esempio "numerico"? Non ho ben capito come poter descrivere un polinomio con una produttoria (anche se il concetto di produttoria l'ho afferrato).
Vi ringrazio
Risposte
una produttoria è un prodotto, come una sommatoria è una somma: cambia solo il modo in cui le scrivi.
per fare un esempio considera un polinomio di 2° grado, di cui è possibile determinare le soluzioni con la solita formula di risoluzione delle eq di secondo grado.
x^2 - 3x + 2 = 0
le soluzioni sono x1 = 1 e x2 = 2.
dire "soluzione" significa che se sostituisco x1 e x2 all'interno dell'eq al posto della x, l'uguaglianza è verificata.
ora, tu sai che affinchè il prodotto a*b*c*... = 0 è sufficiente che uno solo dei fattori sia = 0. il trucco che si usa per scomporre in fattori un polinomio è proprio questo, quindi riconsidera l'equazione di prima:
x^2 - 3x + 2 = 0 se x = 1 oppure 2
noti che pure
1*(x-1)(x-2) = 0 se x = 1 oppure x = 2
dove l'1 davanti ai due fattori è il coefficiente della x di grado maggiore
per fare un esempio considera un polinomio di 2° grado, di cui è possibile determinare le soluzioni con la solita formula di risoluzione delle eq di secondo grado.
x^2 - 3x + 2 = 0
le soluzioni sono x1 = 1 e x2 = 2.
dire "soluzione" significa che se sostituisco x1 e x2 all'interno dell'eq al posto della x, l'uguaglianza è verificata.
ora, tu sai che affinchè il prodotto a*b*c*... = 0 è sufficiente che uno solo dei fattori sia = 0. il trucco che si usa per scomporre in fattori un polinomio è proprio questo, quindi riconsidera l'equazione di prima:
x^2 - 3x + 2 = 0 se x = 1 oppure 2
noti che pure
1*(x-1)(x-2) = 0 se x = 1 oppure x = 2
dove l'1 davanti ai due fattori è il coefficiente della x di grado maggiore
Ti ringrazio. Mi hai fatto afferrare il concetto. Sò che cosa è una produttoria, solo che non avendo ben chiara la scomposizione di un polinomio non potevo capire di coseguenza la formuletta fornitami dal professore.
Seguendo il tuo esempio, potrei quindi scrivere:
Un polinomio di terzo grado immagino si scomponga nel modo seguente:
Giusto?
P.S: Ma per scomporre un polinomio di ennesimo grado esiste una formula (oltre la regola di Ruffini)? Perché trovare gli zeri di una equazione di terzo grado è già molto complesso...
Seguendo il tuo esempio, potrei quindi scrivere:
[math]a_2 \prod_{i=1}^{2}(x - \overline{x}) = \prod_{i=1}^{2}(x-\overline{x}) = (x - \overline{x_1}) \cdot (x-\overline{x_2}) = (x - 1) \cdot (x - 2)[/math]
Un polinomio di terzo grado immagino si scomponga nel modo seguente:
[math]a_3 \cdot (x - \overline{x_1}) \cdot (x - \overline{x_2}) \cdot (x - \overline{x_3})[/math]
Giusto?
P.S: Ma per scomporre un polinomio di ennesimo grado esiste una formula (oltre la regola di Ruffini)? Perché trovare gli zeri di una equazione di terzo grado è già molto complesso...
si può dimostrare (ma non chiedermi come) che oltre al grado 4 non ci sono formule risolutive per così dire "sistematiche".. quindi devi andare per tentativi (ruffini).
sì, la tua scomposizione del polinomio di grado 3 è corretta
sì, la tua scomposizione del polinomio di grado 3 è corretta
Ah perfetto! Almeno non rischio che il professore mi faccia risolvere un'equazione di grado superiore al terzo. La regola di Ruffini l'ho sempre detestata, perché non è proprio "matematica" e, come hai giustamente detto, bisogna procedere per tentativi... e se l'equazione fosse di ventesimo grado... due settimane dopo: Professore! Ho risolto!
Grazie ancora per le risposte!
Grazie ancora per le risposte!
bhè, ti consiglio una risoluzione per via grafica a quel punto. però dubito che una calcolatrice che disegni il grafico delle funzioni passi inosservata
No, a me interessa capire come veramente funzionano le cose. E poi le calcolatrici grafiche non risolvono nulla... se la matematica non si conosce, oltre al grafico non si può andare... si capirebbe subito che il grafico è stato ricavato da un calcolatore... basta fare qualche domandina sull'equazione.
Per i grafici comunque utilizzo MATLAB, ma lo uso solo per equazioni complesse.
Per i grafici comunque utilizzo MATLAB, ma lo uso solo per equazioni complesse.
sì ma era per dire che nessuno si metterebbe a risolvere un'equazione troppo complessa.. è solo una perdita di tempo se posso arrivare a un risultato approssimato per via grafica (basta guardare all'incirca dove stanno gli zeri)
Ottimo
Incognita X:
Ah perfetto! Almeno non rischio che il professore mi faccia risolvere un'equazione di grado superiore al terzo. La regola di Ruffini l'ho sempre detestata, perché non è proprio "matematica" e, come hai giustamente detto, bisogna procedere per tentativi... e se l'equazione fosse di ventesimo grado... due settimane dopo: Professore! Ho risolto!
Grazie ancora per le risposte!
La regola di Ruffini non è matematica? Bisogna procedere per tentativi? ma che cavolo stai a dire?
Regola di Ruffini: Sia
[math]p(x)=a_n x^n+\ldots+a_0[/math]
un polinomio di grado [math]n[/math]
a coefficienti razionali (frazioni). Allora esiste un polinomio monico equivalente associato [math]P(x)=x^n+A_{n-1} x^{n-1}+\ldots+A_0[/math]
che si ottiene dal precedente prendendo il minimo comune multiplo dei coefficienti e raccogliendo il coefficiente del termine di grado massimo tale chei) se
[math]b\in\mathbb{Z}[/math]
è tale che [math]P(b)=[/math]
allora [math]P(x)=(x-b)\cdot Q(x)[/math]
dove [math]Q(x)[/math]
è ancora monico di grado [math]n-1[/math]
. [math]b[/math]
si dice radice di [math]P(x)[/math]
;ii) indicati con
[math]b_j[/math]
i divisori del termine noto [math]A_0[/math]
di [math]P(x)[/math]
, allora le possibili radici intere di tale polinomio si ricercano all'interno di tali valori.Come vedi la regola è un teorema elegantemente enunciato, dimostrabile, e la ricerca delle radici non si fa "a caso", ma si segue uno schema preciso!
Non sparate cazzate sulla matematica, per favore!
ciampax: Non sparate cazzate sulla matematica, per favore!
Un po' di rispetto sarebbe gradito. Grazie.
pure io sono sempre andato per tentativi, non mi avevano mai spiegato che fosse così
:lol:lol:lol
:lol:lol:lol
xico87:
pure io sono sempre andato per tentativi, non mi avevano mai spiegato che fosse così
:lol:lol:lol
E' vero. Ringrazio Ciampax per la spiegazione, però qualche sedativo ci vorrebbe.
Non mi pare di averti offeso! Ho detto solo di non sparare cazzate!
Anche perché, dal mio punto di vista, il primo ad offendere dicendo che la Regola di Ruffini è una cavolata (tra parentesi) sei stato tu! :asd
Anche perché, dal mio punto di vista, il primo ad offendere dicendo che la Regola di Ruffini è una cavolata (tra parentesi) sei stato tu! :asd
ciampax:
Non mi pare di averti offeso! Ho detto solo di non sparare cazzate!
Anche perché, dal mio punto di vista, il primo ad offendere dicendo che la Regola di Ruffini è una cavolata (tra parentesi) sei stato tu! :asd
Ok, ho male interpretato, chiedo scusa. Solo non mi aspettavo una risposta troppo "schietta". :lol
Non ritenevo la regola di Ruffini una cavolata. I professori delle medie inferiori/superiori spiegano che è necessario fare qualche tentativo per trovare un "numeretto" (che annulla il polinomio se sostituito all'incognita) da inserire in basso a sinistra della tabella di Ruffini, per svolgere i calcoli. Uno studente, a meno di una super conoscenza della matematica, difficilmente metterà in dubbio le parole dei professori. Così gli studenti sono convinti che la regola di Ruffini non è proprio scientifica. Nessuno prima d'ora mi aveva spiegato la regola di Ruffini in modo formale.
Gentilmente, potresti farmi un esempio numerico prendendo un polinomio qualsiasi. Perché non avendo una mentalità matematica, le lettere in una formula mi turbano non poco.
Esempio:
Il polinomio a coefficienti interi associato è
I divisori del termine noto
A questo punto si ha
Per cui
A questo punto ciò che c'è nella parentesi lo puoi risolvere come una biquadratica ponendo
[math]p(x)=1/10\,{x}^{5}-{\frac {3}{10}}\,{x}^{4
}-{\frac {19}{30}}\,{x}^{3}+{\frac {19}{10}}\,{x}^{2}+2/3\,x-2[/math]
}-{\frac {19}{30}}\,{x}^{3}+{\frac {19}{10}}\,{x}^{2}+2/3\,x-2[/math]
Il polinomio a coefficienti interi associato è
[math]P(x)=\frac{1}{30}\left(3{x}^{5}-9\,{x}^{4}-19\,{x}^{3}+57\,{x}^{2}+20\,x-60\right)[/math]
I divisori del termine noto
[math]A_0=-60[/math]
sono [math]\pm 1, \pm 2,\pm 3,\pm 4, \pm 5,\pm 6,\pm 10,\pm 12,\pm 15,\pm 20,\pm 30,\pm 60[/math]
. Quelli del coefficiente termine di grado massimo [math]A_5=3[/math]
sono invece [math]\pm 1,\pm 3[/math]
. Per trovare le possibili radici del polinomio, allora, devi scrivere tutti i possibili rapporti tra i divisori del termine noto e quelli del coefficiente di grado massimo, per cui avrai le seguenti possibili radici intere:[math]\pm 1, \pm 2,\pm 3,\pm 4, \pm 5,\pm 6,\pm 10,\pm 12,\pm 15,\pm 20,\pm 30,\pm 60[/math]
A questo punto si ha
[math]P(1)=-8,\ p(-1)=-16,\ p(2)=8,\ p(-2)=40,\ p(3)=0[/math]
Per cui
[math]x=3[/math]
è radice. Dividendo ottieni allora[math]P(x)=\frac{1}{30}\left(x-3\right)\left(1/10\,{x}^{4}-{\frac {19}{30}}\,{x}^{2}+2/3\right)=\frac{1}{90}\left(x-3\right)\left(3x^4-19x^2+20)[/math]
.A questo punto ciò che c'è nella parentesi lo puoi risolvere come una biquadratica ponendo
[math]t=x^2[/math]
.
Grazie mille, gentilissimo.
Prego. Posso chiudere?
ciampax:Come desideri.
Prego. Posso chiudere?
Se devi chiedere ancora cosa la riguardo, non chiudo! Ecco perché ti chiedevo!
No, allora puoi chiudere, grazie.
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