Prodotto di radicali algebrici

[ragoo1]

Salve. Sì, mi rendo conto che sto monopolizzando questa sezione del forum, ma continuo a trovare difficoltà. Spero non mi cacciate.

$sqrt((a^2-2a+1)/(a(a+1)^3))*root(4)(a^2/(a+1)^2)*root(3)((a+1)^3/(a-1)^2)$

Il secondo ed il terzo radicale esistono per $AAainRR$, quindi:

$\{(a!=-1),(a!=0),(a!=1),((a-1)^2/(a(a+1)^3)>=0):}\{(a!=-1),(a!=0),(a!=1),(a<-1∧a>0):}$

Quindi la condizione di esistenza dell'espressione è:

$a<-1∧a>0 text{ ma} !=1$

Posso quindi semplificare senza problemi il secondo radicale, poiché il radicando è positivo in entrambi gli intervalli della condizione:

$sqrt((a-1)^2/(a(a+1)^3))*sqrt(a/(a+1))*root(3)((a+1)^3/(a-1)^2)$

Ora, se $a<-1$, il radicando del terzo radicale è negativo, quindi il tutto diventa (il cambio di segno è eseguito correttamente secondo i passaggi? Il punto è di portare fuori il meno e far diventare il radicando positivo, giusto?):

$sqrt((a-1)^2/(a(a+1)^3))*sqrt(a/(a+1))*(-root(3)((-a-1)^3/(a-1)^2))=-(root(6)((a-1)^6/(a^3(a+1)^9))*root(6)(a^3/(a+1)^3)*root(6)((a+1)^6/(a-1)^4))=-root(6)((a-1)^2/(a+1)^6)=-root(3)((a-1)/(a+1)^3)$

Anche qui il radicale può essere semplificato senza problemi, no? Sappiamo che il radicando è positivo perchè siamo in $a<-1$.

Ora, qui il libro riporta come soluzione, con $a<-1$, $root(3)((1-a)/(a+1)^3)$.

Suppongo sia la stessa cosa?... Visto che l'indice è dispari, posso riportare il meno sotto radice così come posso portarlo fuori? Non lo so, mi confonde parecchio.

Ora, se $a>0 text{ ma} !=1$, tutti i radicali sono positivi. Quindi posso eseguire l'operazione nell'insieme dei numeri assoluti, senza preoccupazione alcuna. Dico bene?

$sqrt((a-1)^2/(a(a+1)^3))*sqrt(a/(a+1))*root(3)((a+1)^3/(a-1)^2)=root(6)((a-1)^6/(a^3(a+1)^9))*root(6)(a^3/(a+1)^3)*root(6)((a+1)^6/(a-1)^4)=root(6)((a-1)^2/(a+1)^6)=root(3)((a-1)/(a+1)^3)$

EDIT: ah, aspettate. Forse è quando semplifico qui che sbaglio.

Sì, si semplifica come:

$root(3)(abs((a-1)/(a+1)^3))$

Quindi diventa:

$root(3)(-(a-1)/(a+1)^3)=root(3)((1-a)/(a+1)^3) text{ con } 0 $root(3)((a-1)/(a+1)^3) text{ con } a>1$

Accidenti, questa cosa non è mica facile. Per me almeno.

Quindi le soluzioni sono:

$\{(root(3)((1-a)/(a+1)^3) text{ con } a<-1^^01):}$

[apatriarca]

Mi sembra corretto. Se ti può far stare meglio, credo che a nessuno venga facile questo genere di esercizi. Le regole sono abbastanza semplici, ma richiedono parecchia attenzione e pazienza. E comunque tutti questi esercizi sono principalmente importanti per interiorizzare questa regola. Difficilmente ti capiterà di dover risolvere qualcosa di così complicato. E probabilmente, se mai ti capiterà al di fuori dell'ambiente scolastico, farai uso di un computer per risolverlo.

[@melia]

Sono pienamente d’accordo con apatriarca.
L’esercizio è corretto e, al di fuori delle esercitazioni di matematica, difficilmente ti capiterà di trovare esercizi con questo tipo di complicazioni.