Problemino trigonometria..
Ciao a tutti!
mi servirebbe un aiutino con un problema di trigonometria.. ci ho provato ma non risulta.. non capisco cosa sbaglio XD
Ecco il testo:
In un parallelogramma un lato misura 3a, un angolo 120gradi e la diagonale maggiore 7a. Calcolane perimetro,area e l'altra diagonale. I risultati ke dà il libro sono: perimetro=16a, Area=15(√3/2)a^, Diagonale minore=√19
Io ho disegnato la figura e tracciando la diagonale maggiore spuntano 2 triangoli, uno ACD e l'altro ACB. Ho ipotizzato ke il lato AD sia lungo 3a e l'angolo in D sia 120... Poi ho fatto dei calcoli utilizzando sia il teorema dei seni ke quello di carnot... ma nn risulta!
Mi potete aiutare x favore?
Grazie in anticipo..
Aggiunto 16 ore 17 minuti più tardi:
Ok..
io non avevo considerato completamente l'idea di mettere l'incognita e pensavo ke la diagonale dividesse l'angolo in parti uguali quindi l'avevo impostato in modo diverso.. non mi poteva risultare mai mai XD
Cmq grazie mille.. mi siete stati d'aiuto!!
mi servirebbe un aiutino con un problema di trigonometria.. ci ho provato ma non risulta.. non capisco cosa sbaglio XD
Ecco il testo:
In un parallelogramma un lato misura 3a, un angolo 120gradi e la diagonale maggiore 7a. Calcolane perimetro,area e l'altra diagonale. I risultati ke dà il libro sono: perimetro=16a, Area=15(√3/2)a^, Diagonale minore=√19
Io ho disegnato la figura e tracciando la diagonale maggiore spuntano 2 triangoli, uno ACD e l'altro ACB. Ho ipotizzato ke il lato AD sia lungo 3a e l'angolo in D sia 120... Poi ho fatto dei calcoli utilizzando sia il teorema dei seni ke quello di carnot... ma nn risulta!
Mi potete aiutare x favore?
Grazie in anticipo..
Aggiunto 16 ore 17 minuti più tardi:
Ok..
io non avevo considerato completamente l'idea di mettere l'incognita e pensavo ke la diagonale dividesse l'angolo in parti uguali quindi l'avevo impostato in modo diverso.. non mi poteva risultare mai mai XD
Cmq grazie mille.. mi siete stati d'aiuto!!
Risposte
Considera il triangolo formato dalla diagonale (7a) il lato (3a) e l'angolo opposto alla diagonale (120)
Per il teorema di Carnot (chiama x il lato mancante).(il coseno di 120 e' -1/2)
da cui
che ha due soluzioni (una negativa, non accettabile (siamo in geometria, inoltre e' la soluzione "aggiunta" dall'elevamento al quadrato di ambo i membri nel primo passaggio) e l'altra e' 5a.
Quindi il lato mancante e' 5a, il perimetro 5a+3a+5a+3a=16a
Per l'Area considera il triangolo rettangolo di ipotenusa 5a e angolo opposto ad essa di 60 (gli angoli del parallelogramma sono ovviamente 120,60,120,60)
Sapendo che
E dunque l'Area
Per l'altra diagonale, puoi applicare il Teorema di Carnot per il triangolo che si forma con l'altra diagonale:
Tenendo presente che il coseno di 60 e' 1/2..
Per il teorema di Carnot (chiama x il lato mancante).(il coseno di 120 e' -1/2)
[math] 7a= \sqrt{(3a)^2+x^2-2(3a)(x) \(- \frac12 \)} \to \\ \to (7a)^2=(3a)^2+x^2-2(3a)(x) \(- \frac12 \) [/math]
da cui
[math] 49a^2=9a^2+x^2+3ax \to x^2+3ax-40a^2=0 [/math]
che ha due soluzioni (una negativa, non accettabile (siamo in geometria, inoltre e' la soluzione "aggiunta" dall'elevamento al quadrato di ambo i membri nel primo passaggio) e l'altra e' 5a.
Quindi il lato mancante e' 5a, il perimetro 5a+3a+5a+3a=16a
Per l'Area considera il triangolo rettangolo di ipotenusa 5a e angolo opposto ad essa di 60 (gli angoli del parallelogramma sono ovviamente 120,60,120,60)
Sapendo che
[math] \frac{cat}{ip}= \sin 60 \to cat= \frac{\sqrt3}{2}5a [/math]
E dunque l'Area
[math] \frac{\sqrt3}{2}5a \cdot 3a = \frac{15}{2} \sqrt3 a^2 [/math]
Per l'altra diagonale, puoi applicare il Teorema di Carnot per il triangolo che si forma con l'altra diagonale:
[math] d= \sqrt{(5a)^2+(3a)^2- 2 (5a)(3a) \cos 60} [/math]
Tenendo presente che il coseno di 60 e' 1/2..
Premesso che la trigonometri non mi piaccia un granchè..
Secondo me dovresti chiamare una parte d'angolo diviso dalla digonale con un'incognita..(ad esempio
Come hai fatto tu non si può applicare perchè la digonale non divide l'angolo in parti uguali..inoltre se da una parte hai l'angolo formato da
Aggiunto 5 ore 9 minuti più tardi:
Di nulla!!XD
Nella trigonometria non dare nulla per scontato!!!:)
Secondo me dovresti chiamare una parte d'angolo diviso dalla digonale con un'incognita..(ad esempio
[math]\beta[/math]
) e poi in questo modo puoi applicare il teorema dei seni e di carnot enll'unica incognita [math]\beta[/math]
..Come hai fatto tu non si può applicare perchè la digonale non divide l'angolo in parti uguali..inoltre se da una parte hai l'angolo formato da
[math]\beta[/math]
, [math]60-\beta[/math]
, dall'altra parte avrai l'opposto perchè la diagonale taglia due lati paralleli, formando angoli alterni interni che sono uguali!capito?Aggiunto 5 ore 9 minuti più tardi:
Di nulla!!XD
Nella trigonometria non dare nulla per scontato!!!:)
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