Problemino geometria....

[peppinotti]

un triangolo ABC ha l'angolo in B di 120° e l'area di 125*( radice di 3) cm quadrati. sapendo che il lato bc è i 5/4 di ab, calcolare il perimetro del triangolo...

[BIT5]

Disegna un triangolo con un angolo di 120.

Traccia l'altezza relativa al lato BC che parte da C.
Come puoi vedere l'altezza cade fuori dal triangolo.
Prolunga dunque la base BC dal lato di B. Chiama H il piede dell'altezza.

Otterrai un triangolo rettangolo di angoli 90 (l'altezza e' perpendicolare) 60 (e' l'angolo in B, supplementare a quello di 120) e 30 (per differenza 180-90-60)

Di questo triangolo ABH chiamiamo x l'ipotenusa AB.

Il triangolo ABH e' meta' di un triangolo equilatero, di cui BH e' la meta' del lato (1/2x) e AH l'altezza.

Sappiamo che per Pitagora dunque, l'altezza (AH) sara'

[math]\bar{AH} = \sqrt{x^2- \( \frac12x \)^2} = \sqrt{\frac34x^2} = \frac12x \sqrt3 [/math]

AH oltre a essere l'altezza di AHB (nonche' il cateto) e' anche l'altezza del triangolo ABC relativa alla base BC. Sappiamo che BC = 5/4AB (quindi 5/4 x)

Quindi l'area di ABC sara':

[math] A= \frac{b \cdot h}{2} = \frac{\bar{BC} \cdot \bar{AH}}{2} = \frac{\frac54x \cdot \frac12x \sqrt3}{2} = \frac{\frac58x^2\sqrt3}{2} = \frac{5}{16}x^2 \sqrt3 [/math]

Questo valore dovra' essere uguagliato all'Area data dall'esercizio, quindi

[math] \frac{5}{16} x^2 \no{\sqrt3} = 125 \no{\sqrt3} [/math]

Da cui

[math] x^2= 125 \cdot \frac{16}{5} = \frac{25}{16} [/math]

E dunque

[math] x= \pm \sqrt{\frac{25}{16}} = \pm \frac54 [/math]

La soluzione negativa non e' accettabile (siamo in geometria) pertanto x=5/4

Ti manca ora il terzo lato... (BC e' 5/4x ovvero 5/4 5/4 = 25/16 )

Se la conosci, userei la formula di Erone, ponendo x=AC (il lato che non hai).
A meno che il triangolo ABC non sia isoscele e tu non ti sia scordato di dirlo...