Problemi trigonometria triangoli rettangoli con discussione

[shintek201]

Salve,non riesco a capire questo problema:
Dato un settore circolare AOB di centro O,raggio r e ampiezza 60°,si conduca da B la tangente all'arco AB fino ad incontrare in Q il prolungamento di OA.Si conduca poi per il punto O una semiretta che incontri in P il segmento BQ in modo che risulti:

a)$PQ+OP=4/sqrt3r$
b)$PQ+OP=kr$

Posto $P\hat OB=x$

Per la lettera a) sono arrivato qua:$cosx+sqrt3senx-sqrt3=0$.Ma non so andare avanti praticamente non riesco a fare la discussione,anche perché la mia professoressa la spiegata malissimo.Deve risultare : $0<=x<=60;1 sol. x=60$
Non ho la più pallida idea di come continuare-

Per la lettere b) stessa cosa,sono arrivato fino a : $(sqrt3-k)cosx-senx+1=0$.Dopo di ché anche qui non riesco a continuare.
Deve risultare :$0<=x<=60;1 sol. per k in[2;1+sqrt3]$

Come devo ragionare?
Qualche suggerimento?

[_prime_number]

Arrivato a quel punto potresti intraprendere la strada della soluzione grafica. Si pone $cosx = X, senx= Y$ e si risolve il sistema:
$\{(X+\sqrt{3}Y-\sqrt{3}=0),(X^2+Y^2=1):}$
Altrimenti potresti usare le formule parametriche per ottenere quell'equazione in $t=tan(x/2)$ (con il fatto che $0\leq x\leq \pi/3\to 0\leq x/2\leq \pi/6$ non avresti nemmeno il rischio di perdere una possibile soluzione).

Paola

[shintek201]

Ciao ho provato in entrambi i modi,e non mi risulta in entrambi:
A me Risulta:

$x=90;x=30$

[_prime_number]

Anche a me vengono quei risultati. $\pi/2$ è da scartare per dominio, ma $\pi/6$ soddisfa l'equazione:
$cos(\pi/6)+\sqrt{3}sen(\pi/6)-\sqrt{3}=\sqrt{3}/2 +\sqrt{3}/2-\sqrt{3}=0 $
quindi va bene.
Forse hai copiato male la soluzione o è sbagliata sul libro... anche perchè se l'angolo fosse $\pi/3$ vorrebbe dire che $P=Q$

Paola

[shintek201]

Ciao hai ragione la soluzione di a) è $x=30$Tuttavia come faccio a dire che$0<=x<=60$?

[_prime_number]

Beh basta che guardi dove sta $x$ e la condizione iniziale su $A\hat O B$.

Paola

[shintek201]

Ok ho guardato...ma mi chiedo perché allora non risulta $0

Cita

Segnala

[_prime_number]

Sono casi limite banali, in cui $P=A, P=Q$ rispettivamente. Verrà insomma solo il triangolo $BQO$ e una condizione sui suoi lati.

Paola

[shintek201]

Ok,anche se purtroppo non lo capita

Invece un altra cosa,per il punto b) io ho:

$(sqrt3-k)cosx-senx+1=0$

Qui per trovarmi le soluzioni cosa devo fare?

Deve risultare:$0<=x<=60;1 sol. per k in[2;1+sqrt3]$

[_prime_number]

Usa le parametriche.

Paola

[shintek201]

Ok,ma credo di aver fatto qualche errore,potresti dirmi se è giusto fino a qui:

$t=(1+-(k-sqrt3))/(-sqrt3 +k+1)$

[_prime_number]

Anche a me viene così. Non dimenticare di mettere qualche condizione su $k$, non tanto sul $\Delta$ che viene un quadrato comunque, ma sul denominatore.

Paola

[shintek201]

Mmmh potresti spiegarti meglio?

[_prime_number]

C'è un $k$ in quel denominatore, metti una C.E.

Paola