Problemi sull'iperbole.
Salve a tutti mi vedo ancora costretto a ricorrere al vostro aiuto per via di 2 problemi.
Allora il primo : Data l'ellisse x^2/16 + y^2/4 = 1 determinare le coordinate dei suoi punti di intersezione con la retta 2y=x
Scrivere poi l'equazione dell'iperbole riferita agli assi e al centro passante per i punti precedentemente trovati e avente un fuoco (0;3). Calcolare i vertici e gli asintoti della parabola.
Allora ho trovato i punti di intersezione tra ellisse e retta che sono A(+2 radice 3; radice 3) e B(-2radice 3; - radice 3). Poi per quanto riguarda l'iperbole se un fuoco è sull'asse delle ordine si evince che l'equazione canonica sia x^2/a^2 - y^2/b^2 = -1 e che essendovi la relazione c>b il rapporto tra a,b,c è c^2 - b^2 = a^2.
Dunque io sostituisco il punto A nell'equazione canonica dell'iperbole ed ottengo -12/a^2 + 3/b^2 =1. Sostituendo B ottengo lo stesso risultato e da qui non so come andare avanti.
Il secondo: Scrivere l'equazione di un'iperbole avente il centro nel punto (3;0), un vertice nel punto (5;0) e distanza focale uguale a 8. Scrivere anche le coordinate dei fuochi e le equazioni degli asintoti.
In tal caso non so proprio come partire, in classe non abbiamo mai svolto esercizi di tale tipologia e l'insegnante non ha mai parlato di "centro" dell'iperbole. Penso si riferisca all'iperbole traslata però non saprei proprio come partire.
Grazie per l'eventuale ausilio.
Allora il primo : Data l'ellisse x^2/16 + y^2/4 = 1 determinare le coordinate dei suoi punti di intersezione con la retta 2y=x
Scrivere poi l'equazione dell'iperbole riferita agli assi e al centro passante per i punti precedentemente trovati e avente un fuoco (0;3). Calcolare i vertici e gli asintoti della parabola.
Allora ho trovato i punti di intersezione tra ellisse e retta che sono A(+2 radice 3; radice 3) e B(-2radice 3; - radice 3). Poi per quanto riguarda l'iperbole se un fuoco è sull'asse delle ordine si evince che l'equazione canonica sia x^2/a^2 - y^2/b^2 = -1 e che essendovi la relazione c>b il rapporto tra a,b,c è c^2 - b^2 = a^2.
Dunque io sostituisco il punto A nell'equazione canonica dell'iperbole ed ottengo -12/a^2 + 3/b^2 =1. Sostituendo B ottengo lo stesso risultato e da qui non so come andare avanti.
Il secondo: Scrivere l'equazione di un'iperbole avente il centro nel punto (3;0), un vertice nel punto (5;0) e distanza focale uguale a 8. Scrivere anche le coordinate dei fuochi e le equazioni degli asintoti.
In tal caso non so proprio come partire, in classe non abbiamo mai svolto esercizi di tale tipologia e l'insegnante non ha mai parlato di "centro" dell'iperbole. Penso si riferisca all'iperbole traslata però non saprei proprio come partire.
Grazie per l'eventuale ausilio.
Risposte
Primo problema: per proseguire devi imporre che sia c=3; tu stesso hai scritto la formula che collega a,b,c.
Secondo problema: forse eri distratto o forse il tuo professore ha trascurato una cosa ovvia: centro di un'iperbole è il suo centro di simmetria, cioè il punto in cui si incontrano gli assi (dell'iperbole, non quelli cartesiani) e gli asintoti. Giustamente pensi che l'esercizio si riferisca all'iperbole traslata, ma se a scuola non avete mai parlato di traslazioni, forse è meglio che tu le studi sul tuo libro prima di affrontare esercizi di questo tipo.
Secondo problema: forse eri distratto o forse il tuo professore ha trascurato una cosa ovvia: centro di un'iperbole è il suo centro di simmetria, cioè il punto in cui si incontrano gli assi (dell'iperbole, non quelli cartesiani) e gli asintoti. Giustamente pensi che l'esercizio si riferisca all'iperbole traslata, ma se a scuola non avete mai parlato di traslazioni, forse è meglio che tu le studi sul tuo libro prima di affrontare esercizi di questo tipo.
Per quanto riguarda il centro dell'iperbole sono certo che non he ha mai parlato. Per quanto riguarda l'iperbole traslata abbiamo fatto abbiamo fatto solo esercizi dove partendo dalla formula Ax^2 - By^2 + cd + dy + E =0 ( ovviamente con valori numerici al posto delle lettere) bisognava raccogliere i coeff. dei termini di secondo grado, completare e traslare gli assi. Nel caso del problema da me sopra citato non saprei come procedere.
Per quanto riguarda il primo punto invece c^2-b^2 = a^2 verrebbe dunque 9 - b^2 = a^2 ma sostituendo comunque questo a^2 al posto di quello nella formula - 12/a^2 + 3/b^2 = 1 ricavata dalla sostituzione del punto A(2radice 3; radice 3 ) nell'equazione generica il risultato è differente da quello del libro. Se potessi vederla un attimo te ne sarei molto grato.
Per quanto riguarda il primo punto invece c^2-b^2 = a^2 verrebbe dunque 9 - b^2 = a^2 ma sostituendo comunque questo a^2 al posto di quello nella formula - 12/a^2 + 3/b^2 = 1 ricavata dalla sostituzione del punto A(2radice 3; radice 3 ) nell'equazione generica il risultato è differente da quello del libro. Se potessi vederla un attimo te ne sarei molto grato.
Hai sbagliato a calcolare i punti di intersezione tra la retta e l'ellisse, che sono $A(2sqrt2, sqrt2)$ e $ B(-2sqrt2, -sqrt2)$.
Per il secondo problema potresti fare una traslazione che porti il punto (3;0) nell'origine, ovviamente va applicata anche al fuoco, trovare l'iperbole e poi applicarle la traslazione inversa
Per il secondo problema potresti fare una traslazione che porti il punto (3;0) nell'origine, ovviamente va applicata anche al fuoco, trovare l'iperbole e poi applicarle la traslazione inversa
"Smicrine":
l'ellisse x^2/16 + y^2/4 = 1 [...]
per scrivere le formule: prova a metter prima e dopo la formula scritta il simbolo del dollaro:
$x^2/16 + y^2/4 = 1$
per le radici usa sqrt
$A(2 sqrt2; sqrt2) $ e $B(-2sqrt2; -sqrt2)$
va bene grazie mille sono proprio un idiota chissà da dove è saltata fuori radice 3...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo