Problemi sull'ellisse

[mirk95]

ciao a tutti... riuscireste a risolvermi questi due problemi???
1.
Dopo aver rappresentato l'ellisse di equazione x^2/4 + y^2 =1, inscrivi in essa un rettangolo di perimetro 4. p.s. Perchè la soluzione dice che il rettangolo degenera in un segmento di estremi P1,2 (0;+o-1)??

2.
Stabilisci per quali valori di k l'equazione: x^2/8-k + y^2/2k-2 =1
rappresenta:
a) un'ellisse (questo mi è venuto.. -1

[Ali Q]

Soluzione del primo esercizio:

Per poter disegnare l'ellisse hai bisogno essenzialmente di determinare i seguenti dati:
1) LUNGHEZZA ASSE MAGGIORE

[math]= 2a = 2*\sqrt{4}= 2*2 = 4[/math]

2) LUNGHEZZA ASSE MINORE

[math]= 2b = 2*\sqrt{1}= 2*1 = 2[/math]

3) VERTICI LUNGO x

[math]= (a,0); (-a,0)= (2,0); (-2,0)[/math]

3) VERTICI LUNGO y

[math]= (b,0); (-b,0)= (1,0); (-1,0)[/math]

Per determinare i lati del rettangolo inscritto in essa occorre procedere come segue.
Prendiamo il primo lato del rettangolo, quello verticale che si trova a destra dell'asse y. Esso è un segmento appartenenete ad una retta. parallela l'asse y.
Quindi ha una equazione generica siffatta:

[math]x = k[/math]

.
Questo segmento taglia l'ellisse in due punti. Questi punti hanno ascissa pari a k, ed ordinata da determinare.
L'ordinata si determina mettendo a sistema l'equazione dell'ellisse e della retta.

[math]x^2/4 +y^2 = 1[/math]

[math]x = k[/math]

Quindi

[math]k^2/4 + y^2 = 1[/math]

[math]y^2 = 1 - k^2/4[/math]

[math]y = \pm \sqrt{1 -k^2/4}[/math]

Quindi i vertici A e B del rettangolo hanno coordinate:

[math]A (k;+\sqrt{1 -k^2/4})[/math]

[math]B (k;-\sqrt{1 -k^2/4})[/math]

Vediamo adesso il secondo lato del rettangolo, quello più lungo, orizzontale, che si trova al di sopra dell'asse delle x. E' il segmento AD.
Esso fa parte di una retta parallela all'asse delle

[math]x[/math]

, quindi avrà equazione:

[math]y= q[/math]

Tuttavia questo valore di q è noto, perchè il punto A e il punto D devono avere la medesima ordinata, dal momento che si tratta di un rettangolo.
Quindi la sua equazione dovrà essere:

[math]y=+\sqrt{1 -k^2/4}[/math]

Mettendo questa equazione a sistema con quella dell'ellisse possono presentarsi due risultati:
1) x= -k, cioè il punto D, generato dall'intersezione della retta con l'ellisse dovrà avere ordinata pari al punto A, e ascissa diametralmente opposta.
2) x = k, cioè il punto D coincide con il punto A.
Quindi:

[math]D (-k oppure k;+\sqrt{1 -k^2/4})[/math]

Quale delle due soluzioni sia quella giusta per il punto D è presto verificato. Poniamo che sia la prima:

[math]D (-k;+\sqrt{1 -k^2/4})[/math]

Trovati i punti A,B e D, posso alloradeterminare la lunghezza dei lati AB e AD.
La loro misura sarà infatti:

[math]P = 4 = 2*AB + 2*AD[/math]

[math]4/2 = 2 = AB + AD[/math]

La lunghezza di AD è pari a

[math](XA-XD) = (k + k ) = 2k [/math]

La lunghezza di AB è pari a

[math](YA - YB) = (+\sqrt{1 -k^2/4} +\sqrt{1 -k^2/4}= 2*\sqrt{1 - k^2/4}[/math]

Sostituisco nell'equazione del perimetro:

[math] 2 = 2k + 2*\sqrt{1 -k^2/4} [/math]

[math] 1 = k + \sqrt{1 -k^2/4} [/math]

[math] 1- k = + \sqrt{1 -k^2/4} [/math]

[math] (1- k)^2 = 1 -k^2/4 [/math]

[math] 1+k^2 -2k = 1 -k^2/4 [/math]

[math] k^2 -2k = -k^2/4 [/math]

[math] k -2 = -k/4 [/math]

[math] k +k/4 = 2 [/math]

[math] 5/4k = 2 [/math]

[math] k = 2*4/5 = 8/5 [/math]

Allora

[math] AB = 2*k = 16/5 = 3,2 > 2!!!![/math]

Questa soluzione non è possibile.

Quindi il punto D non può che coincide con il punto A!!!
La soluzione è che:

[math]D (k;+\sqrt{1 -k^2/4})[/math]

Stando così le cose, il rettangolo degenera in un segmento, il segmento AB.
Determiniamone le coordinate.
Poichè D coincide con A, il segmento Ad ha lunghezza nulla. Dunque:

[math]2 = AB[/math]

[math] 2 = 2*\sqrt{1 -k^2/4} [/math]

[math] 1 = \sqrt{1 -k^2/4} [/math]

[math] 1 = 1 -k^2/4 [/math]

[math] 0 = -k^2/4 [/math]

[math] k = 0 [/math]

Quindi

[math]A (0 +1)[/math]

e

[math]B (0,-1)[/math]

Fine esercizio.

Aggiunto 18 minuti più tardi:

Soluzione secondo esercizio:

Equazione:

[math]x^2/(8-k) + y^2/(2k-2) =1[/math]

a) un'ellisse: L'ellisse ha equazione standard

[math]x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1[/math]

Dobbiamo quindi porre:
1)

[math]8-k >0[/math]

, cioè

[math]-k>-8[/math]

, cioè

[math]k0[/math]

, cioè

[math]k-1>0[/math]

, cioè

[math]k>1[/math]

Quindi

[math]8>K>1[/math]

Attenzione! E' +1 non -1, come nella tua soluzione!!!!

b) una circonferenza: La circonferenza ha equazione standard

[math]x^2 +y^2 -ax -2by + c = 0[/math]

Nella nostra equazione non ci sono termini con x e y, dunque la circonferenza avrà centro nell'origine.
Occorre però, perchè sia una circonferenza, che i coefficienti di

[math]x^2[/math]

e

[math] y^2[/math]

siano pari ad 1.
Moltiplico tutto per

[math](8-k)[/math]

(ma è ovvio che se moltiplicavo tutto per (2k-2) non cambiava niente).
Diviene:

[math]x^2 + y^2(8-k)/(2k-2) =(8-k)[/math]

Occorre che

[math](8-k)/(2k-2)=1[/math]

[math]8-k = 2k -2[/math]

[math]-2-k = -8 -2[/math]

[math]3k = 10[/math]

[math]k = 10/3[/math]

Allora diviene

[math]x^2 + y^2 = (8-k) =(8-10/3)[/math]

[math]x^2 + y^2 = (24/3-10/3)[/math]

[math]x^2 + y^2 = 14/3 [/math]

[math]x^2 + y^2 - 14/3 = 0 [/math]

Ecco l'equazione della circonferenza.

c) un'ellisse con i fuochi sull'asse y.
Perchè sia un'ellisse, vale sempre la condizione del punto a)

[math]8>K>1[/math]

perchè i fuochi siamno sull'asse y (è indicato anche nel formulario che ti ho consigliato nel primo topic che hai postato, quello relativo alle informazioni generali sulle ellissi), occorre che [math]a^2