Problemi sulle funzioni goniometriche e trasformazioni geometriche
Ciao a tutti, sto cercando di risolvere questi problemi presenti a pag. 737-738 del volume "Matematica.blu 2.0" (Bergamini Barozzi Trifone). Posto direttamente le foto perchè ci sono di mezzo foto e disegni che sarebbe difficile rappresentare. Di entrambi i problemi ho risolto i punti a, di entrambi non riesco a risolvere i punti b e c, probabilmente a causa delle mie terribili lacune in geometria.
1° problema: https://images2.imagebam.com/37/cd/30/6 ... 331592.jpg
2° problema: https://images2.imagebam.com/31/82/2d/9 ... 331594.jpg
1° problema: https://images2.imagebam.com/37/cd/30/6 ... 331592.jpg
2° problema: https://images2.imagebam.com/31/82/2d/9 ... 331594.jpg
Risposte
Ciao @Sfuzzone !
Ti rispondo partendo dal secondo problema. Dato che scrivi di aver risolto il punto a), per risolvere la b) sei a cavallo: sappiamo che l'altezza della valvola dal mozzo ruota è pari a $y=28sin(alpha)$, dunque, per trovare l'altezza della stessa valvola dal piano stradale dobbiamo aggiungere l'altezza del mozzo dal piano della strada (altezza valvola dalla strada=altezza mozzo dalla strada+altezza valvola dal mozzo). Per cui si ha che $h=28sin(alpha)+\text{raggio}$, essendo l'altezza del mozzo dal suolo proprio pari al raggio della ruota; $h=28sin(150°)+28=42 \quad \text{cm}$. Quando l'altezza è zero, invece, la valvola si troverà nel punto più basso della ruota, per cui $alpha=270°$ (misurato sempre in senso antiorario a partire dal semiasse positivo delle x, secondo la convenzione goniometrica). Per trovare la strada percorsa con un angolo di 1500° possiamo usare una proporzione: noi sappiamo che ogni giro la ruota compie una circonferenza completa, per cui a 360° corrisponde uno spazio percorso pari a $2pi*\text{raggio}$ e, dunque, impostiamo la seguente proporzione: $360°:2pi*\text{raggio}=1500°:x->x=(1500°*2pi*\text{raggio})/(360°)=7,33\text{m}$ (ricordati di trasformare i cm in m).
Ora veniamo al primo problema.
Per la b) procediamo così: il primo lampione, dovendosi trovare sul semiasse positivo delle x, avrà posizione (10;0) poiché il raggio della circonferenza interna è 10m. Rispondendo alla domanda a), sai già che gli altri lampioni avranno tutti una distanza angolare di 60° l'uno dall'altro, per cui il secondo lampione "disterà" da quello appena trovato 60° e, dunque, avrà posizione $x=10*cos(60°) \quad \text{e} \quad y=sin(60°)$ e, quindi, $(5;5sqrt(3))$, il terzo si troverà a $x=10*cos(120°) \quad \text{e} \quad y=sin(120°)$ e, dunque, a $(-5;5sqrt(3))$ e così via gli altri.
Per rispondere all'ultima domanda, invece, io procederei così (probabilmente c'è un procedimento più semplice e veloce, ma al momento non lo vedo, per cui, se qualcun altro vorrà intervenire a semplificare le cose, gliene sarò grato): risolvo per il lampione tra B e C, poiché per quello tra A e F il procedimento è identico; trovo la posizione angolare dei due lampioni in B ed in C (chiamo $beta$ l'angolo di B e $gamma$ quello di C); si avrà che $beta=arccos(13.6/17)=36.9°$ e $gamma=-arccos(15.4/17)=-25.1°$ dove i segni positivi e negativi sono dovuti alla solita convenzione. Dunque l'angolo totale sarà 36.9°+25.1°=62° e, trovandosi il lampione centrale a metà strada tra i due, esso sarà ad un angolo di (62°)/2=31° di distanza sia da A che da B, per cui si troverà a 36.9°-31°=5.9° e, quindi, le sue coordinate saranno $x=17*cos(5.9°) \quad \text{e} \quad y=17*sin(5.9°)$ cioè $(16.9;1.7)$. Per il lampione tra F e A si procede analogamente.
Spero di essere stato chiaro, in caso contrario non esitare a chiedere.
Saluti
Ti rispondo partendo dal secondo problema. Dato che scrivi di aver risolto il punto a), per risolvere la b) sei a cavallo: sappiamo che l'altezza della valvola dal mozzo ruota è pari a $y=28sin(alpha)$, dunque, per trovare l'altezza della stessa valvola dal piano stradale dobbiamo aggiungere l'altezza del mozzo dal piano della strada (altezza valvola dalla strada=altezza mozzo dalla strada+altezza valvola dal mozzo). Per cui si ha che $h=28sin(alpha)+\text{raggio}$, essendo l'altezza del mozzo dal suolo proprio pari al raggio della ruota; $h=28sin(150°)+28=42 \quad \text{cm}$. Quando l'altezza è zero, invece, la valvola si troverà nel punto più basso della ruota, per cui $alpha=270°$ (misurato sempre in senso antiorario a partire dal semiasse positivo delle x, secondo la convenzione goniometrica). Per trovare la strada percorsa con un angolo di 1500° possiamo usare una proporzione: noi sappiamo che ogni giro la ruota compie una circonferenza completa, per cui a 360° corrisponde uno spazio percorso pari a $2pi*\text{raggio}$ e, dunque, impostiamo la seguente proporzione: $360°:2pi*\text{raggio}=1500°:x->x=(1500°*2pi*\text{raggio})/(360°)=7,33\text{m}$ (ricordati di trasformare i cm in m).
Ora veniamo al primo problema.
Per la b) procediamo così: il primo lampione, dovendosi trovare sul semiasse positivo delle x, avrà posizione (10;0) poiché il raggio della circonferenza interna è 10m. Rispondendo alla domanda a), sai già che gli altri lampioni avranno tutti una distanza angolare di 60° l'uno dall'altro, per cui il secondo lampione "disterà" da quello appena trovato 60° e, dunque, avrà posizione $x=10*cos(60°) \quad \text{e} \quad y=sin(60°)$ e, quindi, $(5;5sqrt(3))$, il terzo si troverà a $x=10*cos(120°) \quad \text{e} \quad y=sin(120°)$ e, dunque, a $(-5;5sqrt(3))$ e così via gli altri.
Per rispondere all'ultima domanda, invece, io procederei così (probabilmente c'è un procedimento più semplice e veloce, ma al momento non lo vedo, per cui, se qualcun altro vorrà intervenire a semplificare le cose, gliene sarò grato): risolvo per il lampione tra B e C, poiché per quello tra A e F il procedimento è identico; trovo la posizione angolare dei due lampioni in B ed in C (chiamo $beta$ l'angolo di B e $gamma$ quello di C); si avrà che $beta=arccos(13.6/17)=36.9°$ e $gamma=-arccos(15.4/17)=-25.1°$ dove i segni positivi e negativi sono dovuti alla solita convenzione. Dunque l'angolo totale sarà 36.9°+25.1°=62° e, trovandosi il lampione centrale a metà strada tra i due, esso sarà ad un angolo di (62°)/2=31° di distanza sia da A che da B, per cui si troverà a 36.9°-31°=5.9° e, quindi, le sue coordinate saranno $x=17*cos(5.9°) \quad \text{e} \quad y=17*sin(5.9°)$ cioè $(16.9;1.7)$. Per il lampione tra F e A si procede analogamente.
Spero di essere stato chiaro, in caso contrario non esitare a chiedere.
Saluti
Attenzione che il libro "sbaglia" la soluzione del punto b) del problema 2. In particolare quando ti si chiede di trovare l'angolo per cui \(V\) è ad altezza zero. Infatti \( \alpha = 3\pi/2 \) non è l'unica soluzione (misuro gli angoli in radianti, quindi 270 gradi corrispondono a \(3 \pi/2 \) radianti, perché è più comodo per trattare le funzioni trigonometriche). Sai dirmi perché?
vi ringrazio moltissimo per l'aiuto 
"Sfuzzone":
vi ringrazio moltissimo per l'aiuto
Hai poi capito il perché ci sono più soluzioni per l'angolo quando ti chiede l'altezza di \(V\) è zero? Quali sono le altre soluzioni?
"3m0o":
[quote="Sfuzzone"]vi ringrazio moltissimo per l'aiuto
Hai poi capito il perché ci sono più soluzioni per l'angolo quando ti chiede l'altezza di \(V\) è zero? Quali sono le altre soluzioni?[/quote]
Ciao, abbiamo corretto il problema con la prof. e non ci ha detto nulla in merito, le andava bene come risposta l'angolo di 270°. Onestamente non saprei risponderti.
Mi sai dire quanto vale \(y_V\), dove \(V=(x_V,y_V)\), se l'angolo fosse \( 270^{\circ} + 360^{\circ} \)? O in radianti \( \frac{3 \pi}{2} + 2 \pi \) ? Sai trovare altri angoli per cui \( y_V = 0 \)?
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