Problemi sulla Parabola...

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30 mar 2007, 20:18

Salve raga, sono nuova!
Ho un disperato bisogno di sapere il metodo risolutivo di alcuni problemi di geometria analitica sulla parabola....mi accontento di sapere come risolverli! non pretendo tutti i calcoli!
Spero che qualcuno possa gentilmente aiutarmi, lunedì ho il compito e vorrei farlo con le idee chiare...

1) Scrivere l'equazione della parabola avente per asse di simmetria la retta x=3 e tangente nel punto A(2;3) alla retta r di coefficiente angolare 2. Determinare le equazioni delle rette t e m tangenti alla parabola nei punti di intersezione con l'asse x-

2)Una parabola con asse parallelo all'asse y passa per il punto P(0,1), ha il vertice sulla retta di equazione y=2x-9 e il fuoco sulla retta di equazione y=-x+5. Trovare l'equazione della parabola.

Sono graditissimi consigli per non sbagliare facilmente i calcoli...
Grazie mille!!

Risposte

aleio1

30 mar 2007, 19:49

X i problemi in qst momento nn posso aiutarti...cmq penso ke la maggiorparte dei problemi k gli studenti incontrano nella geometria analitica e generalmente in tutto il liceo siano legati alle lacune nel calcolo letterale...(la riduzione dei polinomi per intenderci)...quindi anke se ti sembrano cose stupide ti consiglio di esercitarti molto sul calcolo lettterale xkè oltre a velocizzare i tempi nell'esecuzione degli esercizi è utilissimo per comprendere a pieno le nozioni di teoria della geometria analitica ora, di altri argomenti in seguito:)

Kurt Cobain

31 mar 2007, 17:09

ciao hwoary... hm.. non sono sicuro che il primo esercizio sia completo... secondo me manca qualcosa per l'equazione della parabola... non so...
l'eq. della parabola e' y=ax^2+bx+c; secondo me nell'esercizio e' dato 'c'....

penso anche in'altra cosa... l'eq. piu' verosimile e' y=-x^2+6x-5

ho trovato l'eq. della retta: y=2x-1, si trova cosi': y-3=2(x-2), dove 3 e' y del punto A e 2 e' x del punto A e m=2...
poi trovo che b=-6a, dall'asse di simmetria, che e' -(b/2a)=3...
f(2)=4a+2b+c=3, perche' 2 appartiene anche alla parabola e quindi suppondendolo nell'eq. da risposta 3; da qui si vede che c=3+8a...
fin qui ho risolto l'esercizio... penso che il c deve esser dato, ma... non so...

o forse simplicemente non posso risolvere l'esercizio:)

ora comincio can il secondo esercizio che alla prima sguarda non mi sembra cosi' difficile...:)

hwoary

1 apr 2007, 16:07

Grazie mille!!!!! Anche a me sembrava strano che non fosse dato...ma eppure è così!! Mi sto scervellando da due giorni....e pure io sono arrivata a quel puno senza andare oltre!!
Grazie mille ancora!! Domani mi aspetta quel maledetto compito!!! E la cosa che mi preoccupa di più è il tempo a disposizione per fare 3 problemi ...speriamo bene...

Kurt Cobain

2 apr 2007, 13:40

purtroppo non potevo scrivere l'altro esercizio, perche non posso scrivere 2 volto uno dopo l'altro... e come ho detto l'esercizio non e' cosi' difficile, ma ora e' forse troppo tardi di scriverlo...:)
se lo vuoi invece non sara' problema per me di scriverlo:)

ciampax

2 apr 2007, 14:51

Il primo problema è di facile risoluzione, e non c'è necessità di sapere nient'altro! Ecco come si risolve:

Porblema 1)

L'equazione è del tipo

[math]y=ax^2+bx+c[/math]

Ora, poiché l'equazione dell'asse è in generale

[math]x=-b/(2a)[/math]

ne segue che

[math]b=-2a\cdot 3=-6a[/math]

e l'equazione si semplifica in

[math]y=ax^2-6ax+c[/math]

Poiché il punto dato è di tangenza, appartiene alla parobola per cui

[math]3=4a-12a+c\Rightarrow c=3+8a[/math]

e l'equazione si semplifica ulteriormente in

[math]y=ax^2-6a+8a+3[/math]

Ora per trovare

[math]a[/math]

procediamo così: la retta r, che ha coefficiente angolare 2 e passa per A ha equazione

[math]y-3=2(x-2)\Rightarrow y=2x-1[/math]

Sostituendo nell'equazione della parabola si ottiene

[math]2x-1=ax^2-6ax+8a+3\Rightarrow ax^2-2(3a+1)x+4(2a+1)=0[/math]

Poiché le due curve sono tangenti, ne segue che dobbiamo imporre che il discriminante di tale equazione sia uguale a zero, cioè

[math]4(3a+1)^2-16a(2a+1)=0\Rightarrow a^2+2a+1=0[/math]

la cui unica soluzione è

[math]a=-1[/math]

. Ricordando i valori di b e c, si ricava

[math]y=-x^2+6x-5[/math]

.

Ora, se

[math]y=0[/math]

abbiamo

[math]x^2-6x+5=0[/math]

le cui radici sono

[math]x_1=1, x_2=5[/math]

, quindi cerchiamo le tangenti nei punti

[math]B(1,0), C(5,0)[/math]

. Per la tangente in B, la retta generica è

[math]y=mx-m[/math]

da cui sostituendo, l'equazione

[math]x^2-(6-m)x+5-m=0[/math]

Posto di nuovo il discriminante di tale equazione uguale a zero, si ha

[math](6-m)^2-4(5-m)=0\Rightarrow m^2-8m+16=0[/math]

la cui unica soluzione è

[math]m=4[/math]

e quindi l'equazione della retta tangente è

[math]y=4x-4[/math]

Per trovare l'altra retta, si può procedere allo stesso modo oppure ragionare così: visto che i punti B e C sono simmetrici rispetto alla retta

[math]x=3[/math]

, ne segue che la retta tangente da trovare sarà simmetrica a quella appena trovata e quindi la sua equazione è (visto che la simmetria inverte i segni della

[math]x[/math]

)

[math]y=-4(x-5)\Rightarrow y=-4x+20[/math]

Provare per credere! :lol

Problema 2)

L'equazione è sempre del tipo

[math]y=ax^2+bx+c[/math]

. Il passaggio per P dà la condizione

[math]c=1[/math]

. Le coordinate del vertice e del fuoco sono

[math]V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a}\right), F\left(-\frac{b}{2a},\frac{1-b^2+4ac}{4a}\right)[/math]

Sostituendo questi valori nelle equazioni delle rette e ricordando quanto vale il termine noto si ha

[math]-\frac{b^2-4a}{4a}=-\frac{b}{a}-9\Rightarrow -b^2+4a=-4b-36a\Rightarrow b^2-4b=40a[/math]

[math]\frac{1-b^2+4a}{4a}=\frac{b}{2a}+5\Rightarrow 1-b^2+4a=2b+20a\Rightarrow b^2+2b=1-16a[/math]

Da queste due equazioni si ricava

[math]-6b=56a-1\Rightarrow a=1/56-3/28\cdot b[/math]

che sostituiti nella seconda danno

[math]b^2+2b=1-16/56+48/28 b\Rightarrow b^2+2b=5/7+12/7\cdot b\Rightarrow 7b^2+2b-5=0[/math]

le cui soluzioni sono

[math]b_1=-2, b_2=5/7[/math]

e quindi i due valori

[math]a_1=13/56, a_2=-23/196[/math]

Mi spiace solo che ormai probabilmente non ti serviranno più!

Kurt Cobain

2 apr 2007, 19:46

hehe... non era cosi facile il primo, ma l'ho capito.... bravo Ciampax:) ll secondo invece era facile da risolvere,solo che non la potevo scrivere. L'equazione che ho trovato e' lo stesso: 7b^2+2b-5=0, ma qui hai fatto un errore: b=-1 e b=5/7 => a=1/8 e a=-23/392...
:D

ciampax

2 apr 2007, 20:05

Eh, fatto i conti a mente, me devo essere saltato un 2 da qualche parte a denominatore :lol

Kurt Cobain

4 apr 2007, 19:56

si puo' ragionare in un altro modo: se prendiamo i tuoi valori di b, le formule di Viet diventano errate... e se li applichi per i miei valori, troverai le risposte giuste... :D

masso

2 dic 2007, 09:49

mandatemi al piu' presto la risoluzione di questo problema grazie tanto

calcolare l'equazione di una parabola con asse perpendicolare all'asse delle x, passante per il punto A(-1;0) e per il punto B(3;0), tangente alla reta di equazione y=-2x+6......essendo C il punto di intersezione della parabola con l'asse della y, determinare sull'arco CB un punto P tale che : il quadrilatero PBOC abbia area uguale a 3/4K con K nulero reale posiivo.
aiutatemi grazie