Problemi sui fasci della circonferenza

[sandro]

salve mi servirebbe una mano su questi 2 esercizi...grazie
1)sono date le circonferenze di equazione x2+y2-5y=0; x2+y2-10x-25=0
a)dopo averle rappresentate graficamente scrivi l'equazione del fascio da esse generato
b)determina l'equazione dell'asse radicale e della retta dei centri e rappresentale;determina inoltre le coordinate degli eventuali punti base del fascio
c)stabilisci la posizione relativa delle circonferenze del fascio
d)determina l'equazione della circonferenza del fascio che ha centro di ascissa 3
e)qual'è,fra le circonferenze del fascio,quella di raggio minimo?determina la sua equazione

Aggiunto 2 ore 22 minuti più tardi:

perfetto...grazie mille!

[BIT5]

1)

a) Per procedere al disegno, sara' sufficiente trovare il centro e il raggio di ogni circonferenza.
Ricordiamo l'equazione canonica della circonferenza:

[math] x^2+y^2+ax+by+c=0 [/math]

Inoltre della prima, sai anche che passa per l'origine degli assi, dal momento che e' priva del termine noto e pertanto le coordinate dell'origine ne soddisfano l'equazione (ovvero sostituendo x=0 e y=0 trovi un'identita').

Inoltre la prima avendo a=0 avra' centro sull'asse y (x del centro = 0) mentre la seconda avra' centro sull'asse y dal momento che b=0.

PRIMA CIRCONFERENZA:

[math] y_C= - \frac{b}{2} = \frac52 [/math]

Raggio:

[math] \sqrt{ \( \frac52 \)^2}= \frac52 [/math]

(calcolo del raggio superfluo, infatti abbiamo localizzato il centro sull'asse y e detto che passa per l'origine)

Analogamente disegni la seconda.

Il fascio di circonferenze lo ricavi come:

[math] C_1+k(C_2)=0 [/math]

e dal momento che la prima circonferenza e' piu' "ridotta" di equazione, moltiplichiamo la prima per il parametro (ma solo per questioni di comodita')

[math] x^2+y^2-10x-25+k(x^2+y^2-5y)=0 \to \\ \to (k+1)x^2+(k+1)y^2-10x-5ky-25=0 [/math]

.

Aggiunto 7 minuti più tardi:

b) per trovare l'asse radicale, dovrai trovare i punti di intersezione tra le circonferenze:

[math] \{x^2+y^2-5y=0 \\ x^2+y^2-10x-25=0 [/math]

Da cui, per il metodo di riduzione, possiamo sottrarre la seconda equazione alla prima e otteniamo:

[math] \{10x-5y+25=0 \\ x^2+y^2-10x-25=0 [/math]

Abbiamo trovato l'equazione della retta su cui giaciono i punti di intersezione tra le due circonferenza, che e' proprio l'asse radicale!

quindi l'asse sara'

[math] 5y=10x+25 \to y=2x+5 [/math]

Per trovare l'equazione della retta dei centri, sara' sufficiente trovare la retta passante per i due centri delle due circonferenze note.

Aggiunto 4 minuti più tardi:

I punti base del fascio sono i punti di intersezione tra le due circonferenze, ovvero sara' sufficiente terminare il sistema che ho interrotto di risolvere in cerca dell'asse radicale.

Siccome l'asse radicale passa per i punti di intersezione tra le due circonferenze, potrai tranquillamente mettere a sistema, se vuoi, l'asse radicale con una delle due circonferenze.

Aggiunto 25 minuti più tardi:

c) dal momento che le circonferenze si incontrano in 2 punti (le generatrici) le circonferenze saranno secanti

Aggiunto 9 minuti più tardi:

d) dovremo scrivere nuovamente il fascio, ma in forma canonica.

Quindi avremo:

[math] x^2+y^2- \frac{10}{k+1} x - \frac{5k}{k+1} y - \frac{25}{k+1}=0 [/math]

A questo punto, sapendo che la x del centro e' -a/2 porremo

[math] \frac{10}{2(k+1)} = 3 \to 10=6k+6 \to 6k=4 \to k= \frac23 [/math]

e) la circonferenza con raggio minimo sara', ovviamente, la circonferenza con raggio = 0

il raggio e'

[math] r= \sqrt{ \( \frac{10}{2k+2} \)^2 + \( \frac{5k}{2k+2} \)^2 - \frac{25}{k+1}} = 0 [/math]

E dunque

[math] \frac{100}{(2(k+1))^2} + \frac{25k^2}{(2(k+1))^2} - \frac{25}{k+1} = 0 [/math]

minimo comune multiplo:

[math] \frac{100 + 25k^2 - 25 (4(k+1))}{4(k+1)^2} = 0[/math]

Da cui (eliminato il denominatore per k divero da -1)

[math]100+25k^2-100k-100=0 \to k(k-4)=0 \to k=0 \ \ e \ \ k=4 [/math]

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