Problemi risolvibile con equazione di secondo grado
Problemi risolvibile con equazione?
E' un vero rompicapo...mio figlio ci lotta da due giorni....
1) Un cantiniere vuole impilare a piramide 100 bottiglie. E' possibile? Quante bottiglie deve mettere nella base? Quanti spazi rimangono vuoti?
2) In una pizzeria è esposto questo cartello: pizza piccola, per una persona, diametro 25 cm, costo 3,50 euro. Pizza grande per due persone , diametro cm 36, costo 7 euro.
a) due amici cosa devono scegliere per mangiare di più e spendere meno?
b) che diametro dovrebbe avere la piccola affinchè la scelta sia ugualmente conveniente?
Grazie per l'aiuto che vorrete darmi
E' un vero rompicapo...mio figlio ci lotta da due giorni....
1) Un cantiniere vuole impilare a piramide 100 bottiglie. E' possibile? Quante bottiglie deve mettere nella base? Quanti spazi rimangono vuoti?
2) In una pizzeria è esposto questo cartello: pizza piccola, per una persona, diametro 25 cm, costo 3,50 euro. Pizza grande per due persone , diametro cm 36, costo 7 euro.
a) due amici cosa devono scegliere per mangiare di più e spendere meno?
b) che diametro dovrebbe avere la piccola affinchè la scelta sia ugualmente conveniente?
Grazie per l'aiuto che vorrete darmi
Risposte
il primo problema si risolve con questo ragionamento :
se le deve "impilare a piramide" vuol dire che in ogni strato ci deve essere una bottigllia in meno che nello strato prima fino al limite costituito dallo strato più alto con 1 sola bottiglia
questo equivale a sommare tutti i numeri da 1 a x dove x è il numero di bottiglie nello strato più basso
questa somma vale
e questa si risolve nel solito modo ottenendo un 14 come numero delle bottiglie nella base (devi prendere solo la parte intera perche' se metti una frazkone di bottiglia il vino va di fuori )
il totale delle bottiglie che impileresti sarebbe in questo modo 105 , v isto che ne hai solo 100 resteranno vuoti rispettoalla pila ideale 5 posti : quello isolato in cima al mucchio , i 2 della seconda fila e 2 su 3 nella terza fila
tutto chiaro ???
posta un altro messaggio qui se vuoi altre spiegazioni su questo esercizio o per conferma
quando [ tutto chiaro ti rislvo il secondo
k
se le deve "impilare a piramide" vuol dire che in ogni strato ci deve essere una bottigllia in meno che nello strato prima fino al limite costituito dallo strato più alto con 1 sola bottiglia
questo equivale a sommare tutti i numeri da 1 a x dove x è il numero di bottiglie nello strato più basso
questa somma vale
[math]\left(x*\left(x+1\right)\right)/2[/math]
ossia [math]\frac{x^2+x}{2}[/math]
che deve essere uguale al totale dele bottiglie per cui la tua equazione sara' [math]\frac{x^2+x}{2}=100 [/math]
ossia [math] x^2+x-200=0[/math]
e questa si risolve nel solito modo ottenendo un 14 come numero delle bottiglie nella base (devi prendere solo la parte intera perche' se metti una frazkone di bottiglia il vino va di fuori )
il totale delle bottiglie che impileresti sarebbe in questo modo 105 , v isto che ne hai solo 100 resteranno vuoti rispettoalla pila ideale 5 posti : quello isolato in cima al mucchio , i 2 della seconda fila e 2 su 3 nella terza fila
tutto chiaro ???
posta un altro messaggio qui se vuoi altre spiegazioni su questo esercizio o per conferma
quando [ tutto chiaro ti rislvo il secondo
k
Non so se esista una soluzione più semplice, ma io l'ho risolto così:
Le bottiglie, disposte a piramide, formano un triangolo.
La prima bottigli forma un triangolo di Area=1
L'area di questo triangolo, via via che si prosegue alla fila successiva, è sempre dato da:
numero della fila (che è l'altezza) x (numero delle bottiglie+1) che è la base tutto fratto 2
Dal momento che sappiamo il numero delle bottiglie, ci calcoliamo l'Area del triangolo.
Ottenuto il risultato, se questo, moltiplicato per 2 è un numero intero (il prodotto di due numeri interi, quindi) allora vuol dire che l'ultima fila ha una "lunghezza" piena.
Chiamando x il numero della fila, avremo
E otterremo il numero delle bottiglie che formano quella fila.
Al contrario, noto il numero delle bottiglie, troviamo i valori di x.
Se troviamo che x è un numero intero, allora le bottiglie completano la fila (non dimentichiamo che il numero delle bottiglie coincide con la base ed è x+1, che è senz'altro un numero intero, e x è il numero delle file)
Nel nostro caso:
Risolvendo l'equazione, troviamo due valori:
Uno è negativo (e pertanto non ha senso, stiamo parlando del numero delle bottiglie e comunque della lunghezza della base del triangolo...)
L'altro sarà 13,65.
vuol dire che la nostra fila è maggiore della 13^, ma le bottiglie non riempiono completamente la 14^..
Per la formula di cui sopra
13(13+1)/2=91
questo significa fino all'ultima fila (la 13^) mettiamo 91 bottiglie.
per riempire anche la 14^ ci occorrono 105 bottiglie (15(15-1)/2.
Pertanto abbiamo 9 bottiglie sull'ultima fila, e 5 spazi vuoti.
Se qualcuno conosce un metodo più rapido, sono curioso anch'io.
Purtoppo io non ho saputo "inventarmi" di meglio.
Spero comunque di esserti stato d'aiuto, in qualche modo..
Per il secondo problema devi semplicemente fare una proporzione.
Post modificato: La soluzione l'ho scritta nel mio post successivo..
Le bottiglie, disposte a piramide, formano un triangolo.
La prima bottigli forma un triangolo di Area=1
L'area di questo triangolo, via via che si prosegue alla fila successiva, è sempre dato da:
numero della fila (che è l'altezza) x (numero delle bottiglie+1) che è la base tutto fratto 2
Dal momento che sappiamo il numero delle bottiglie, ci calcoliamo l'Area del triangolo.
Ottenuto il risultato, se questo, moltiplicato per 2 è un numero intero (il prodotto di due numeri interi, quindi) allora vuol dire che l'ultima fila ha una "lunghezza" piena.
Chiamando x il numero della fila, avremo
[math]\frac{x(x+1)}{2}[/math]
E otterremo il numero delle bottiglie che formano quella fila.
Al contrario, noto il numero delle bottiglie, troviamo i valori di x.
Se troviamo che x è un numero intero, allora le bottiglie completano la fila (non dimentichiamo che il numero delle bottiglie coincide con la base ed è x+1, che è senz'altro un numero intero, e x è il numero delle file)
Nel nostro caso:
[math]\frac{x(x+1)}{2}=100[/math]
Risolvendo l'equazione, troviamo due valori:
Uno è negativo (e pertanto non ha senso, stiamo parlando del numero delle bottiglie e comunque della lunghezza della base del triangolo...)
L'altro sarà 13,65.
vuol dire che la nostra fila è maggiore della 13^, ma le bottiglie non riempiono completamente la 14^..
Per la formula di cui sopra
13(13+1)/2=91
questo significa fino all'ultima fila (la 13^) mettiamo 91 bottiglie.
per riempire anche la 14^ ci occorrono 105 bottiglie (15(15-1)/2.
Pertanto abbiamo 9 bottiglie sull'ultima fila, e 5 spazi vuoti.
Se qualcuno conosce un metodo più rapido, sono curioso anch'io.
Purtoppo io non ho saputo "inventarmi" di meglio.
Spero comunque di esserti stato d'aiuto, in qualche modo..
Per il secondo problema devi semplicemente fare una proporzione.
Post modificato: La soluzione l'ho scritta nel mio post successivo..
eh sì, il ragionamento fila.......senza contare che sei stato molto chiaro con la spiegazione. Avevo subdorato che ci fossero di mezzo i triangoli.....
ma anche il ragionamento di sqklaus....bastava applicare la formula per la sommatoria di n numeri consecutivi....ma non è sempre facile ricordare tutto...
per le pizze...ho ancora qualche difficoltà
ho calcolato il costo di 1 cm^2 di pizza
a) quindi pizza piccola
1 cm^2 di pizza piccola costa 3,50 / 490,625 = 0,007 €
per la pizza grande
1 cm^2 pizza grande costa 7/1017,36 = 0,006 €
0,006 < 0,007 quindi conviene di più mangiare la pizza grande per due
b) se la pizza piccola costa 3,50€ pagata a 0,006 € il cm^2
il prof l'ha svolto così
3,50 / 0,006 = 530,66 cm^2 Area ma da dove viene 530,66? a me il quoziente viene diverso
530,66 / 3,14 = 169 = raggio^2
raggio = 13 cm
dovrebbe avere diametro = 26 cm
ma anche il ragionamento di sqklaus....bastava applicare la formula per la sommatoria di n numeri consecutivi....ma non è sempre facile ricordare tutto...
per le pizze...ho ancora qualche difficoltà
ho calcolato il costo di 1 cm^2 di pizza
a) quindi pizza piccola
1 cm^2 di pizza piccola costa 3,50 / 490,625 = 0,007 €
per la pizza grande
1 cm^2 pizza grande costa 7/1017,36 = 0,006 €
0,006 < 0,007 quindi conviene di più mangiare la pizza grande per due
b) se la pizza piccola costa 3,50€ pagata a 0,006 € il cm^2
il prof l'ha svolto così
3,50 / 0,006 = 530,66 cm^2 Area ma da dove viene 530,66? a me il quoziente viene diverso
530,66 / 3,14 = 169 = raggio^2
raggio = 13 cm
dovrebbe avere diametro = 26 cm
Per il problema delle pizze, effettivamente, ho sbagliato...
Io la risolverei semplicemente così:
Che semplificata viene (il pigreco si semplifica...)
Da cui
e quindi
x=3,375
La pizza piccola, in relazione a quella grande, dovrebbe costare 3,375 €.
Affinchè la piccola abbia un costo equo alla grande, dovrebbe essere più grande.
Ovvero
Se vuoi risolverlo con il calcolo del costo a dm^2 (che secondo me è moooolto più lungo)
Superficie della prima pizza: 490,625 dm^2 = 4,90625 m^2 (così abbiamo dei numeri meno piccoli)
Costo della pizza: 3,50€
Costo di un m^2= 0,7134 €
Superficie della seconda pizza: 1017,36 dm^2 = 10,01736 m^2
Costo della pizza: 7,00 €
Costo di un m^2= 0,6988 €
La seconda è più conveniente...
Pertanto a questo punto sappiamo che
0,6988 (costo di un m^2 della pizza grande) x r^2 x 3,14= 3,50 (costo complessivo della pizza a cui vogliamo arrivare)
r^2=3,50/(0,699x3,14) = 1,59m^2 = 159 dm^2
r=12,61 d=25,22
C'è differenza perchè con tutti questi decimali, si fanno un sacco di errori..
I calcoli che hai fatto tu (che perdono ulteriori dati) secondo me sono corretti...
Anzi, con questi arrotondamenti vengono anche meglio dei miei!!
Ho modificato il post di sopra perchè sarebbe andato bene se avessimo dovuto fare il conto solo sulla crosta!! (ho usato la circonferenza anzichè il cerchio)
Io la risolverei semplicemente così:
[math]\pi \cdot r_1^2: \pi \cdot r_2^2= 3,50 : x[/math]
Che semplificata viene (il pigreco si semplifica...)
[math] r_1^2: r_2^2= 3,50 : x[/math]
Da cui
[math] 12,5^2: 18^2 = x : 7,00[/math]
e quindi
x=3,375
La pizza piccola, in relazione a quella grande, dovrebbe costare 3,375 €.
Affinchè la piccola abbia un costo equo alla grande, dovrebbe essere più grande.
Ovvero
[math] r^2:18^2=3,50 : 7[/math]
[math]r^2=162 \\ r=12,73 \\ d=25,46[/math]
Se vuoi risolverlo con il calcolo del costo a dm^2 (che secondo me è moooolto più lungo)
Superficie della prima pizza: 490,625 dm^2 = 4,90625 m^2 (così abbiamo dei numeri meno piccoli)
Costo della pizza: 3,50€
Costo di un m^2= 0,7134 €
Superficie della seconda pizza: 1017,36 dm^2 = 10,01736 m^2
Costo della pizza: 7,00 €
Costo di un m^2= 0,6988 €
La seconda è più conveniente...
Pertanto a questo punto sappiamo che
0,6988 (costo di un m^2 della pizza grande) x r^2 x 3,14= 3,50 (costo complessivo della pizza a cui vogliamo arrivare)
r^2=3,50/(0,699x3,14) = 1,59m^2 = 159 dm^2
r=12,61 d=25,22
C'è differenza perchè con tutti questi decimali, si fanno un sacco di errori..
I calcoli che hai fatto tu (che perdono ulteriori dati) secondo me sono corretti...
Anzi, con questi arrotondamenti vengono anche meglio dei miei!!
Ho modificato il post di sopra perchè sarebbe andato bene se avessimo dovuto fare il conto solo sulla crosta!! (ho usato la circonferenza anzichè il cerchio)
bit non è
[math]x*\left(x-1\right)/2 [/math]
ma[math]x*\left(x + 1\right)/2
[/math]
(fallo con 5 e vedrai che non viene 10 ma 15 ) cosi' la fila bassa viene di 14 bottiglie e i postri vuoti in cima 5
[/math]
Ciao Sqklaus! Hai ragione, i miei risultati vengono tutti relativi alla fila superiore!
Vado subito a modificare la risposta..
Grazie mille.
(Anche se il mio post è successivo al tuo, ti assicuro che quando l'ho scritto il tuo non c'era ancora.. credo di averlo cominciato a scrivere più o meno quando hai cominciato tu, solo che io ho scritto un poema!)
Ciao.
Vado subito a modificare la risposta..
Grazie mille.
(Anche se il mio post è successivo al tuo, ti assicuro che quando l'ho scritto il tuo non c'era ancora.. credo di averlo cominciato a scrivere più o meno quando hai cominciato tu, solo che io ho scritto un poema!)
Ciao.
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