Problemi matematica (25360)
ciao raga...per domani ho questi problemi..si fanno cn le derivate penso...almeno qua c'è scritto applicazione delle derivate alla geometria...
ecco le tracce...
1. scrivere le equazioni delle tangenti alla parabola y= x al quadrato - x + 1 nei punti in cui questa incontra la retta r di equazione 2x - y + 1 = 0.
calcolare l'area del triangolo formato dalle tangenti trovate e dalla retta r.
2. scrivere le equazioni delle tangenti alla parabola y= x al quadrato - 8x + 12 nei punti in cui questa incontra l'asse x e calcolare l'area del triangolo formato dalle tangenti e dall'asse y.
3. data la parabola di equazione y = x al quadrato - 1, verificare che le intersezioni delle coppie di rette tangenti alla parabola in punti che hanno ascisse opposte appartengono all'asse delle ordinate.
4. determinare l'equazione della parabola y = ax al quadrato + bx + c sapendo che è tangente alla retta 2x - y - 1 = 0 nel punto di ascissa 1 e che passa per il punto (2,4).
E da ore che provo a farli..ma nn arrivo a nessuna soluzione...vi prego...me ne va bn anke solo uno...giusto x capire km si fanno...km li devo impostare..poi dovrei farcela da sola...
grazie a tutti:)
ecco le tracce...
1. scrivere le equazioni delle tangenti alla parabola y= x al quadrato - x + 1 nei punti in cui questa incontra la retta r di equazione 2x - y + 1 = 0.
calcolare l'area del triangolo formato dalle tangenti trovate e dalla retta r.
2. scrivere le equazioni delle tangenti alla parabola y= x al quadrato - 8x + 12 nei punti in cui questa incontra l'asse x e calcolare l'area del triangolo formato dalle tangenti e dall'asse y.
3. data la parabola di equazione y = x al quadrato - 1, verificare che le intersezioni delle coppie di rette tangenti alla parabola in punti che hanno ascisse opposte appartengono all'asse delle ordinate.
4. determinare l'equazione della parabola y = ax al quadrato + bx + c sapendo che è tangente alla retta 2x - y - 1 = 0 nel punto di ascissa 1 e che passa per il punto (2,4).
E da ore che provo a farli..ma nn arrivo a nessuna soluzione...vi prego...me ne va bn anke solo uno...giusto x capire km si fanno...km li devo impostare..poi dovrei farcela da sola...
grazie a tutti:)
Risposte
Cominciamo col primo, poi vediamo il resto Allora prima di tutto una nota teorica: se hai una funzione
dove
Ora procediamo: innanzitutto devi trovare le intersezioni tra la parabola (la funzione data) e la retta risolvendo il sistema
le cui soluzioni sono (non sto a scrivere tutto, poi se hai bisogno te lo spiego passo passo)
La derivata di f è invece
e quindi andando a sostituire nella formula otteniamo
per la tangente in A e
per la tangente in B.
Il terzo vertice del triangolo che devi considerare sarà invece il punto di intersezione delle due tangenti che ha coordinate (dopo aver risolto il sistema con le equazioni delle due tangenti)
Ora, se consideri come base del triangolo ABC il segmento AB avrai
mentre l'altezza è uguale alla distanze h del punto C dalla retta 2x-y+1=0 e quindi
L'area del triangolo misura allora
Gli altri si svolgono in generale come qquesto, facendo un po' di considerazioni di geometria analitica. Se hai problemi, fai sapere.
[math]f(x)[/math]
l'equazione della retta tangente ad [math]f[/math]
nel punto di coordinate [math]P(x_0, f(x_0))[/math]
è datta dalla formula[math]y-f(x_0)=f'(x_0)\cdot(x-x_0)[/math]
dove
[math]f'(x_0)[/math]
è il valore della derivata nel punto [math]x_0[/math]
e rappresenta, per definizione, il coefficiente angolare della retta tangente stessa.Ora procediamo: innanzitutto devi trovare le intersezioni tra la parabola (la funzione data) e la retta risolvendo il sistema
[math]\left\{\begin{array}{l}
y=x^2-x+1\\ 2x-y+1=0
\end{array}[/math]
y=x^2-x+1\\ 2x-y+1=0
\end{array}[/math]
le cui soluzioni sono (non sto a scrivere tutto, poi se hai bisogno te lo spiego passo passo)
[math]A(0,1),\qquad B(3,7)[/math]
La derivata di f è invece
[math]f'(x)=2x-1[/math]
e quindi andando a sostituire nella formula otteniamo
[math]y-1=-1\cdot(x-0)\quad\Longrightarrow y=-x+1[/math]
per la tangente in A e
[math]y-7=5\cdot(x-3)\quad\Longrightarrow y=5x-8[/math]
per la tangente in B.
Il terzo vertice del triangolo che devi considerare sarà invece il punto di intersezione delle due tangenti che ha coordinate (dopo aver risolto il sistema con le equazioni delle due tangenti)
[math]C(3/2, -1/2)[/math]
.Ora, se consideri come base del triangolo ABC il segmento AB avrai
[math]AB=\sqrt{(0-3)^2+(1-7)^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}[/math]
mentre l'altezza è uguale alla distanze h del punto C dalla retta 2x-y+1=0 e quindi
[math]h=\frac{|2\cdot 3/2-1\cdot(-1/2)+1|}{\sqrt{4+1}}=\frac{9}{2\sqrt{5}}[/math]
L'area del triangolo misura allora
[math]S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot h=\frac{1}{2}\cdot 3\sqrt{5}\cdot\frac{9}{2\sqrt{5}}= \frac{27}{4}[/math]
.Gli altri si svolgono in generale come qquesto, facendo un po' di considerazioni di geometria analitica. Se hai problemi, fai sapere.
grazie grazie grazie...:D ora provo con gli altri...se ho difficoltà ti faccio sapere...grazie ancora...
Risolto?
si si risolto...:)
Ok, chiudo!
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