Problemi geometrici con parametri
Salve,
purtroppo mi trovo in difficoltà con un problema di questo tipo:
Circoscrivi ad una semicirconferenza di raggio r un trapezio isoscele di perimetro 2kr, k>0. Nel grafico poni r=1.
Io ho ragionato così:
Detti: x la base inferiore, y la superiore e l il lato obliquo
$ 2l=x+y=kr=k $ per circoscrivibilità
$ (x-y)^2/4+r^2=(x-y)^2/4+1=l^2=(x+y)^2/4 $ per Pitagora
Dunque considerando il sistema risolvente:
$ { (x+y=k),( xy=1 ),( k>0 ),( x>0 ),( y>0):} $
Trovo che ci sono 2 soluzioni simmetriche per $ k>=2 $ .
Perché mai? Cosa sbaglio? Grazie
purtroppo mi trovo in difficoltà con un problema di questo tipo:
Circoscrivi ad una semicirconferenza di raggio r un trapezio isoscele di perimetro 2kr, k>0. Nel grafico poni r=1.
Io ho ragionato così:
Detti: x la base inferiore, y la superiore e l il lato obliquo
$ 2l=x+y=kr=k $ per circoscrivibilità
$ (x-y)^2/4+r^2=(x-y)^2/4+1=l^2=(x+y)^2/4 $ per Pitagora
Dunque considerando il sistema risolvente:
$ { (x+y=k),( xy=1 ),( k>0 ),( x>0 ),( y>0):} $
Trovo che ci sono 2 soluzioni simmetriche per $ k>=2 $ .
Perché mai? Cosa sbaglio? Grazie
Risposte
ciao Maschinna
dando una veloce occhiata alla tua risoluzione non capisco una... parli di circoscrittibilità e scrivi che la somma delle due basi è uguale alla somma dei due lati obliqui... ma questa non è la regola di circoscrittibilità di un poligono a una circonferenza? Questa è una semicirconferenza.
dando una veloce occhiata alla tua risoluzione non capisco una... parli di circoscrittibilità e scrivi che la somma delle due basi è uguale alla somma dei due lati obliqui... ma questa non è la regola di circoscrittibilità di un poligono a una circonferenza? Questa è una semicirconferenza.
Ok, grazie. Quindi che ulteriore condizione dovrei mettere nel sistema?
Inviato dal mio ASUS_T00J utilizzando Tapatalk
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Il punto è che essendo una SEMIcirconferenza mi sembra che il tuo sistema non abbia purtroppo ragione di esistere
Ci ho pensato un po'. Si riesce a dimostrare in maniera molto semplice che il lato obliquo è la metà della base maggiore. Provaci. Per farlo congiungi il centro con il punto di tangenza sul lato obliquo e ragiona un attimo sui triangoli rettangoli che vedi.
Quindi una prima condizione potrebbe essere $2l=y$
Poi si potrebbe applicare Pitagora e dire che la base minore è
$x=y-2sqrt(l^2-r^2)=y-2sqrt(y^2/4-r^2)$
allora il perimetro sarebbe
$2P=x+y+2l=y-2sqrt(y^2/4-r^2)+y+y=2kr$
cioè
$3y-2sqrt(y^2/4-r^2)=2Kr$
se ora poni per semplicità $r=1$ ottieni il valore di $y$ richiesto con un poco di calcoli
sperando vivamente di non aver preso cantonate...
Ci ho pensato un po'. Si riesce a dimostrare in maniera molto semplice che il lato obliquo è la metà della base maggiore. Provaci. Per farlo congiungi il centro con il punto di tangenza sul lato obliquo e ragiona un attimo sui triangoli rettangoli che vedi.
Quindi una prima condizione potrebbe essere $2l=y$
Poi si potrebbe applicare Pitagora e dire che la base minore è
$x=y-2sqrt(l^2-r^2)=y-2sqrt(y^2/4-r^2)$
allora il perimetro sarebbe
$2P=x+y+2l=y-2sqrt(y^2/4-r^2)+y+y=2kr$
cioè
$3y-2sqrt(y^2/4-r^2)=2Kr$
se ora poni per semplicità $r=1$ ottieni il valore di $y$ richiesto con un poco di calcoli
sperando vivamente di non aver preso cantonate...
Ok, grazie.
Il mio errore era stato quello di considerare la semicirconferenza parte della circonferenza, quindi che la circoscrivibilità alla semicirconferenza avesse come condizione necessaria ma non sufficiente la circoscrivibilità alla circonferenza.
Ora però non saprei disegnare la prima relazione come x(y). Mi verrebbe in mente di studiare i delta della equazione parametrica di II grado, ma in tal caso non farei il disegno.
Grazie
Il mio errore era stato quello di considerare la semicirconferenza parte della circonferenza, quindi che la circoscrivibilità alla semicirconferenza avesse come condizione necessaria ma non sufficiente la circoscrivibilità alla circonferenza.
Ora però non saprei disegnare la prima relazione come x(y). Mi verrebbe in mente di studiare i delta della equazione parametrica di II grado, ma in tal caso non farei il disegno.
Grazie
Ponendo la base maggiore uguale a $2x$ ottengo la relazione $3x-sqrt(x^2-1)=k$ da qui impongo $y=sqrt(x^2-1)$ e $3x-y=k$ con le condizioni $y>=0$ e $x>=1$, la prima è un ramo di iperbole equilatera e la seconda un fascio di rette. Dopo gli opportuni calcoli si ottiene
per $2sqrt2<=k<=3$ due soluzioni
per $k>3 $ una soluzione
il tutto a meno di errori di calcolo.
per $2sqrt2<=k<=3$ due soluzioni
per $k>3 $ una soluzione
il tutto a meno di errori di calcolo.
Perfetto. Grazie [emoji6]
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