Problemi geometrici (107479)

[cassio]

ciao potete aiutarmi con queste dimostrazioni?
1- indicati con H l'ortocentro, O il circoncentro, G il baricentro, I l'incentro di un triangolo ABC, dimostrare che ABC è equilatero se vale una delle relazioni:
a)H coincide con O
b)H coincide con G
c)H coincide con I
d)O coincide con G
e)O coincide con I
f)G coincide con I

2- Dato un triangolo eqiulatero ABC sia G il suo baricentro. Gli assi M N dei segmenti AG e BG si incontrano in un punto C'.
a)Verificare che G è punto medio di CC'
b) verificare che m e n dividono il segmento AB in 3 parti congruenti
c) Tracciare l'asse R del segmento CG si viene a formare una stella a sei punte inscritta nella circonferenza che circoscrive ABC
d) dimostrare i risultati verificati ai punti a e b
Per favore aiutatemi a capire domani devo essere interrogata e devo spiegare e dimostrare.
Grazie a tutti un bacione

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Dato che domani dovrai essere interrogata cercherò di darti qualche buona dritta e lascerò a te il resto come esercizio.

Partiamo dal primo problema dimostrativo. A titolo d'esempio, dimostriamo che se circoncentro

[math]O[/math]

e baricentro

[math]G[/math]

coincidono, allora il triangolo

[math]ABC[/math]

è equilatero. Dunque, dato che

[math]O[/math]

è circocentro del triangolo

[math]ABC[/math]

si ha

[math]\bar{OA} = \bar{OB} = \bar{OC}[/math]

in quanto trattasi di raggi della medesima circonferenza, circoscritta appunto al triangolo

[math]ABC[/math]

. Ma poiché si ha

[math]O\equiv G[/math]

cioè

[math]O[/math]

è anche punto di incontro delle mediane dei lati del triangolo

[math]ABC[/math]

allora

[math]O\hat{A}B = O\hat{A}C[/math]

e la stessa cosa vale per gli altri triangoli relativamente all'angolo adiacente. Quindi si ha che

[math]O\hat{A}B = O\hat{A}C = O\hat{C}A = O\hat{C}B = O\hat{B}A = O\hat{B}C[/math]

e in particolare segue che

[math]A\hat{B}C = A\hat{C}B = B\hat{C}A[/math]

in dimostrazione della tesi.

[math]\square\\[/math]

Per quanto riguarda il secondo problema, per i primi tre punti è sufficiente fare un bel disegno grande come quello in allegato e verificare tali preposizioni semplicemente con un righello/compasso. Invece, per dimostrare gli asserti appena verificati occorre fare un po' più di fatica. Ti do qualche 'spunto' per dimostrare il secondo punto, per il primo vorrei che proponessi te un ragionamento da discutere assieme.

Dunque, come dimostrato nell'esercizio precedente, in un triangolo equilatero ortocentro e baricentro coincidono: consegue che mediane e altezze coincidono a loro volta. A questo punto ti consiglio di considerare la mediana/altezza uscente da

[math]A[/math]

che incontra perpendicolarmente (per definizione di altezza) il lato

[math]BC[/math]

. Per il teorema del baricentro,

[math]G[/math]

si trova su tale retta ad una distanza pari a

[math]\frac{1}{3}[/math]

da

[math]BC[/math]

. D'altro canto, l'asse

[math]m[/math]

di

[math]AG[/math]

in quanto tale interseca

[math]AG[/math]

nel proprio punto medio, perpendicolarmente: dunque

[math]m // BC[/math]

. Ma dato che rette parallele tagliano segmenti [...]
A te concludere :)

[math].\\[/math]