Problemi geometria I anno

[sentinel1]

Sulla retta r disegna nell'ordine tre punti $A, B$ e $C$ tali che $BC=2AB$. Siano $M$ e $N$ i punti medi rispettivamente dei segmenti $AB$ e $BC$, e sia $P$ il punto medio del segmento $MN$. Dimostra che $AC=4MP$

Con questo tipo di problemi sto trovando grosse difficoltà perchè non ho capito che metodo deve essere utilizzato per dimostrare la tesi. Ho provato anche con altri problemi ma spesso arrivo alla dimostrazione della tesi senza cognizione di causa, cioè solo provando e riprovando ad apportare delle trasformazioni alle equazioni che costruisco.
Chiedo gentilmente di spiegarmi un metodo (o un "trucco") per poter affrontare questi tipi di problemi in serenità.
Grazie.

[igiul1]

Provo a darti qualche consiglio, anche se superfluo:
1) costruisci la figura e ragiona su essa (é fondamantale);
2) tieni presente i dati, a volte può essere utile riportarli sulla figura;
3) non dimenticare mai il punto di arrivo, cioè la tesi.
Questi tre punti sono indispensabili, come anche la conoscenza di regole, proprietà, ...
Trucchi? ..... boh ...

Veniamo al problema che hai proposto:
1) Osseva che, essendo $BC=2AB$ e $N$ punto medio di $BC$ hai: $AB=BN=NC$. Volendo puoi indicare ognuno con $a$ ed avere $AC=3a$
2) $MP=1/2MN$
3)$MN=1/2AB+BN$
Ne consegue che $MP=1/2MN=1/2(1/2AB+BN)=3/4a$
da cui $a=4/3MP$

Spero di esseti stato utile.
Ciao
Sostituendo $AC=3a=3*4/3MP=4MP$

[sentinel1]

Ho capito tutti i passaggi.
Adesso provo a risolvere un altro problema. Spero di farcela!
Grazie mille.

[sentinel1]

Considera due angoli consecutivi $aob$ e $boc$ e sulla bisettrice $b$ dell'angolo $boc$ considera un punto $P$. Dimostra che $2aop=aoc+boc$.


Risolvo:

$aop=1/2boc + aob=1/2boc+aoc-boc=aoc-1/2boc$

Ammesso che sia giusto, come dovrei procedere per dimostrare la tesi?

Grazie.

[igiul1]

Quello che hai fatto è corretto, ma sei sicuro che il testo sia corretto?
Per proseguire basta moltiplicare per 2 ed osservare che $aoc=aob+boc$
Io trovo

$ 2aop=aoc+aob $.

[sentinel1]

La traccia dell'esercizio è questa (libro zanichelli, ultima edizione).
Pensi che la traccia sia errata? Per questo non mi esce?

[igiul1]

Sì! penso proprio che la traccia sia errata.

[sentinel1]

Dimostra che la bisettrice dell'angolo convesso $aob$ è anche bisettrice dell'angolo concavo $cod$, dove $c$ è il prolungamento della semiretta $b$ e $d$ è il prolungamento della semiretta $a$.

Tesi: $cos=dos$

$cos=coa+aos$

$dos=dob+bos$

$aos=bos$, per Ipotesi.

$coa=dob$, in quanto angoli opposti al vertice.

Quindi, $cos=dos$ perchè somma di angoli congruenti.

Ditemi che è corretto...

[igiul1]

Perfetto.
ciao

[sentinel1]

Considera in senso orario le semiretta $a,b,c,d$ di origine comune $O$ e tali che $aob$ e $cod$ siano retti. Dimostra che gli angoli $boc$ e $aod$ sono supplementari.

Vi chiedo: l'angolo $aod$ deve essere inteso come l'angolo concavo della figura? Perchè altrimenti è evidente che la somma degli angoli espressi nella tesi superano l'angolo piatto!
La traccia del problema non avrebbe dovuto specificare che per angolo $aod$ si riferisce all'angolo concavo e non all'angolo convesso?

[igiul1]

Guarda che gli angoli $aod$ e $boc$ (evitando il caso che siano entrambi retti) sono uno acuto e l'altro ottuso.
... certo che, avendo precisato il senso orario, sarebbe stato meglio scrivere l'angolo $doa$ e non $aod$.