Problemi geometria analitica

[gabmac2]

Ho 2 problemi di geometria e spero qualcuno mi dia dei consigli,mi accontento anche solo di sapere come fare i passaggi

Sia dato il fascio generato dalle circonferenze:
Γ: x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0 e Γ': x^2 + y^2 - 2y - 1 = 0.

Determinare la circonferenza passante per il punto P(1, -4).
Determinare la circonferenza tangente alla retta x = 2 + radice 10 .


Determinare l'angolo tra le rette r: x - 2y + 1 = 0 e r': 3x + y - 3 = 0.

[BIT5]

Una volta scritto il fascio

[math] x^2+y^2-2x-4y+1+k(x^2+y^2-2y-1)=0 [/math]

da cui

[math] (k+1)x^2+(k+1)y^2-2x-2ky+1-k=0 [/math]

a) sostituiamo le coordinate del punto, e troviamo il valore di k che soddisfa l'equazione

b)Troviamo i punti di intersezione tra il fascio e la retta, trovando le y generiche, e poniamo la condizione che y1=y2 (ovvero Delta =0)

2) ricordando che il coefficiente angolare di una retta altro non è che la tangente dell'angolo che questa forma con l'asse x (o, ovviamente, con qualunque sua parallela...):
- riscrivi le rette in forma esplicita
- calcoli l'angolo formato da queste attraverso la formula

[math] \frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2} [/math]

la cui dimostrazione si trova in ogni libro di analisi :)

[gabmac2]

ti ringrazio molto bit5,ma non sono riuscito a far venire l' angolo (deve venire cos = rad 2/10),inoltre non mi è chiaro nemmeno il punto b,ti dispiace darmi più dettagli?

Inoltre vorrei aggiungere altre 2 cose (completamente diverse da queste),come si dimostra che è un sottospazio vettoriale?

come si calcola al variare di k questo sistema?
2x +(1+ k)y- kz= 1
2x +(3+ 2k)y +(4- 3k)z =3
2x - y - (3 - 2k)z=-k

grazie ancora

[ciampax]

Allora, stavo pensando che, probabilmente, tu devi risolvere gli esercizi (anche quelli precedenti) con il formalismo dell'algebra lineare e della geometria vettoriale.

Ad esempio, dovresti esprimere le due circonferenze via la loro rappresentazione matriciale e risolvere poi i problemi usando questo formalismo. Per il terzo punto, faccio notare quanto segue: se

[math]v_1,\ v_2[/math]

sono i vettori direzione delle rette, allora l'angolo compreso tra le rette è dato dalla relazione

[math]\cos\theta=\frac{v_1\cdot v_2}{|v_1|\ |v_2|}[/math]

dove

[math]\cdot[/math]

rappresenta il prodotto scalare. In particolare, se hai due rette

[math]ax+by+c=0,\qquad a' x+b' y+c'=0[/math]

allora i loro vettori direzione sono

[math]v_1=(-b,a),\qquad v_2=(-b',a' )[/math]

e quindi si ha

[math]\cos\theta=\frac{bb'+aa'}{\sqrt{(a^2+b^2)((a' )^2+(b' )^2)}[/math]

Nel tuo caso

[math]\cos\theta=\frac{3-2}{\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{50}}=\frac{1}{5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{10}[/math]

Per quanto riguarda la seconda domanda: per dimostrare che COSA è un sottospazio vettoriale di CHI?

Per l'ultima questione, ciò che devi fare è studiare il comportamento della matrice completa associata al tuo sistema al variare di

[math]k[/math]

, e cioè della matrice

[math]\left(\begin{array}{ccc|c}
2 & 1+k & -k & 1\\ 2 & 3+2k & 4-3k & 3\\ 2 & -1 & 3-2k & -k
\end{array}\right)[/math]

e applicare il teorema di Rouché-Capelli.

[gabmac2]

ciampax ,sei stato perfetto come al solito,ho trovato il determinante alla matrice senza i termini noti e il det è diverso da zero per K diverso da 0 e 2 (è il risultato corretto dal testo),però mi dice anche che per k=0 nessuna soluzione ,mentre per k=2 mi da una serie di risultati.Non riesco a trovarli,capelli per det matrice ridotta = det matrice completa c' è un unica soluzione,e per det ridotta < det completa inf soluzioni,è corretto?Ma come faccio?

Per il sottospazio vettoriale è un discorso generico,vorrei entrare meglio nel discorso,mi sembra chiaro,ma è una cosa meccanica,non mi sento sicurissimo,mi potete fare un esempio o dire senza dubbi come procedere?

[ciampax]

La matrice da studiare è la seguente.

[math]\left(\begin{array}{ccc|c}
2 & 1+k & -k & 1\\ 2 & 3+2k & 4-3k & 3\\ 2 & -1 & 3-2k & -k
\end{array}\right)[/math]

Iniziamo con il calcolare il determinante di

[math]A=\left(\begin{array}{ccc}
2 & 1+k & -k \\ 2 & 3+2k & 4-3k \\ 2 & -1 & 3-2k
\end{array}\right)[/math]

che viene

[math]\det A=-6k^2+2k+28=-2(3k^2-k-14)[/math]

e quindi

[math]\det A=0[/math]

se e solo se

[math]k=-2,\ k=\frac{7}{3}[/math]

. Ciò vuol dire che, per Rouché-Capelli e per Cramer, il sistema ammette un'unica soluzione per ogni valore di

[math]k\neq -2,\ \frac{7}{3}[/math]

.

Adesso vediamo cosa accade negli altri due casi.

Se

[math]k=-2[/math]

la matrice completa diventa

[math]\left(\begin{array}{ccc|c}
2 & -1 & 2 & 1\\ 2 & -1 & 10 & 3\\ 2 & -1 & 7 & 2
\end{array}\right)[/math]

da cui, sottraendo la prima riga alla seconda e alla terza, si ottiene

[math]\left(\begin{array}{ccc|c}
2 & -1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 8 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1
\end{array}\right)[/math]

e quindi il sistema risulta non compatibile, in quanto le ultime due equazioni hanno coefficienti diversi.


Nel caso in cui

[math]k=7/3[/math]

abbiamo

[math]\left(\begin{array}{ccc|c}
2 & 10/3 & -7/3 & 1\\ 2 & 23/3 & -3 & 3\\ 2 & -1 & -5/3 & -7/3
\end{array}\right)[/math]

che si può riscrivere, moltiplicando tutto per 3 come

[math]\left(\begin{array}{ccc|c}
6 & 10 & -7 & 3\\ 6 & 23 & -9 & 9\\ 6 & -3 & -5 & -7
\end{array}\right)[/math]

e di nuovo, sottraendo la prima riga dalla seconda e dalla terza

[math]\left(\begin{array}{ccc|c}
6 & 10 & -7 & 3\\ 0 & 13 & -2 & 6\\ 0 & -13 & 2 & -10
\end{array}\right)[/math]

che di nuovo risulta incompatibile avendo le ultime due equazioni coefficienti uguali ma differenti termini noti.


Per l'altro quesito, in generale se

[math]W\subset V[/math]

è un sottoinsieme di uno spazio vettoriale, allora esso è sottospazio se per ogni coppia di vettori

[math]w,w'\in W[/math]

e ogni coppia di scalari

[math]a,b\in\mathbb{K}[/math]

si ha

[math]aw+bw'\in W[/math]

.

I metodi per farlo possono essere molteplici, quindi se posti qualche caso posso aiutarti.