Problemi di secondo grado con discussione

[giu.vasco]

nel triangolo rettangolo AOB i cateti OA e OB misurano rispettivamente a, 2a; da un punto M dell'ipotenusa si conducano le perpendicolari MP ed MQ ai cateti. Si determini la posizione del punto M, sapendo che la misura dell'area del rettangolo OPMQ aumentata delle aree dei quadrati costruiti su OP e su OQ è uguale ad m^2.
(indicando AM=x si ha 3x^2-5(m^2-a^2)
risultato:
1 soluz. per m^2 compreso tra a^2 e 4a^2

ringrazio chi me lo spiega!

[plum]

i triangoli APM, OPQ e ABC sono simili. intanto calcoli AC, che vale

[math]\sqrt5a[/math]

; a questo punto, essendo triangoli simili, puoi scrivere

[math]PA=\frac{AM}{\sqrt5}=\frac x{\sqrt5}[/math]

e di conseguenza

[math]OP=OA-PA=a-\frac x{\sqrt5}[/math]

. visto che anche OPQ è simile ad ABC, sarà

[math]OQ=2OP=2(a-\frac x{\sqrt5})[/math]

ora calcoli OP^2, OQ^2 e OP*OQ (l'area del rettangolo):

[math]OP^2=(a-\frac x{\sqrt5})^2=a^2+\frac{x^2}5-\frac2{\sqrt5}ax[/math]

[math]OQ^2=(2OP)^2=4OP[/math]

[math]OP*OQ=OP*2OP=2OP[/math]

quindi

[math]OP^2+OQ^2+OP*OQ=OP^2+4OP^2+2OP^2=7OP^2[/math]

ora devi porre il tutto uguale a m^2:

[math]7OP^2=m^2[/math]

[math]OP^2=\frac {m^2}7[/math]

[math]a^2+\frac{x^2}5-\frac2{\sqrt5}ax=\frac{m^2}7[/math]

[math]\frac15x^2-2(\frac a{\sqrt5})x+a^2-\frac{m^2}7[/math]

trovi il delta:

[math]\frac{\Delta}4=\frac{a^2}5-\frac15(a^2-m^2)=\frac{m^2}7[/math]

mmm... mi viene diverso dalle tue soluzioni. spero che qualuno trovi l'errore:dontgetit

[SuperGaara]

A me viene, risolvendo l'equazione, lo stesso risultato che il testo dà.

Adesso scrivo quello che ho fatto...

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Conosciamo i due cateti:

[math]OA=a\;OB=2a[/math]

Con il teorema di Pitagora troviamo il valore di AB:

[math]AB=\sqrt{5}a[/math]

Chiamiamo

[math]AM=x[/math]

e quindi:

[math]MB=AB-AM=\sqrt{5}a-x[/math]

Consideriamo i triangoli AMP, MBQ e ABO: essi sono simili per il primo criterio, avendo due angoli rispettivamente congruenti.

Pertanto valgono le seguenti relazioni di similitudine:

[math]\frac{MQ}{AO}=\frac{MB}{AB}\\\frac{PM}{OB}=\frac{AM}{AB}[/math]

Dalle quali si ricava che:

[math]MQ=\frac{AO \times MB}{AB}=\frac{a(\sqrt{5}a-x)}{\sqrt{5}a}=\frac{\sqrt{5}a-x}{\sqrt{5}}[/math]

[math]PM=\frac{AM \times OB}{AB}=\frac{x \times 2a}{\sqrt{5}a}=\frac{2x}{\sqrt{5}}[/math]

[Ovviamente si può semplificare tranquillamente, perchè non può essere 0 dal momento che a è la misura data dal testo dei lati del triangolo.]

L'equazione risolvente era:

[math]A(OPMQ)+OP^2+OQ^2=m^2[/math]

Perciò si ha:

[math]OP \times OQ +OP^2+QO^2=m^2\\\frac{2x}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}a-x}{\sqrt{5}}+\frac{(\sqrt{5}a-x)^2}{5}+\frac{4x^2}{5}=m^2\\\frac{2\sqrt{5}ax-2x^2+5a^2+x^2-2\sqrt{5}ax+4x^2-5m^2}{5}=0\\\frac{3x^2+5a^2-5m^2}{5}=0\\3x^2-5(m^2-a^2)=0[/math]

Che è l'equazione data dal testo ;)

[plum]

visto che OP=QM e che OQ=PM siamo giunti allo stesso risultato... quindi dove ho sbagliato???:con

[SuperGaara]

plum:

[math]OQ^2=(2OP)^2=4OP[/math]

Tu sai che OB=2OA, quindi nei triangoli simili si avrà PM=2AP e QB=2MQ.

Ma come arrivi a dire che OQ=2OP? :con

OPQ non è simile ad ABO...

[plum]

ecco dove ho sbagliato... effettivamente OQ non è 2OP... mea magna culpa!:thx

[giu.vasco]

grazie mille a tutte e due!!!!

[SuperGaara]

Prego giu.vasco ;)

Comunque di solito come procedete alla discussione? Chiamate x^2=y e supponete a=1...?