Problemi di max e min.

[La_Padrina_89]

Non riesco a risolvere un problema di mate, qualcuno sa aiutarmi??

E' data la circonferenza di equazione

[math]x^2 + y^2 =1.[/math]

Determina su di essa un punto P in modo che sia massima la somma dei quadrati delle sue distanze dai punti A(2;0) e B(0;2)

Ho costruito la figura (che non sono capace di riportare).
come coordinate di P ho messo x e +/- 1-

[math]x^2[/math]

tutto sotto radice
Ma non riesco ad andare avanti!

:(

[La_Padrina_89]

Tranquillo, grazie mille!
Se vuoi ti dò il risultato,è x=- radice di 2 fratto 2
:)

[xico87]

devi formulare la funzione che ti dia la somma dei quadrati delle distanze sapendo che

[math] y_P = \sqrt{1-x^2_P} [/math]

ora calcolo il quadrato della distanza di P dal punto B:

[math](x_P - x_B)^2 + (y_P - y_B)^2 = (x_P - 0)^2 + (\sqrt{1-x^2_P} - 2)^2 [/math]

ora fai la stessa cosa per trovare la distanza di P da A, fai la somma di qsti due quadrati delle distanze, imponi la derivata = 0 e trovi i valori di x_P.
se hai problemi posta stasera

[plum]

[quote=plum]
considero solo quei punti dell'ellisse con y>0; dopo aver trovato i punti che mi vanno bene, mi basterà considerare anche quelli simmetrici rispetto all'asse x per trovarli tutti

[math]P(x;\sqrt{1-x^2})[/math]

[math]PA^2=(x-2)^2+(\sqrt{1-x^2}-0)^2=x^2-4x+4+1-x^2=5-4x[/math]

[math]PB^2=(x-0)^2+(\sqrt{1-x^2}-2)^2=x^2+1-x^2-4\sqrt{1-x^2}+4=5-4\sqrt{1-x^2}[/math]

[math]PA^2+PB^2=10-4(x+\sqrt{1-x^2})[/math]

che ha valore massimo quando

[math]x+\sqrt{1-x^2}[/math]

è il più piccolo possibile. se chiamo x=sen a viene

[math]x+\sqrt{1-x^2}=\sin a+\cos a[/math]

che assume valori minimi quando cos a=-1 e sen a=0 (quindi x=0 e y=-1; ma avevamo deciso di escludere le y

[xico87]

nei problemi di massimo e minimo si usano praticamente sempre le derivate.. nn so dove sbagli, il tuo sistema è troppo laborioso

[La_Padrina_89]

Grazie mille plum e xico!!! Ora provo a farlo velocementeeeeeeeee grazie grazie!!!

[plum]

visto che vedere il valore minimo che assume l'espressione

[math]x+\sqrt{1-x^2}[/math]

non rientra nelle mie conoscenze, ho trasformato il tutto in qualcosa che so fare; ho posto x=sen a e così sono riuscito a trovare quei valori di sen a che rendono minima l'equazione

[math]\sin a+\sqrt{1-\sin^2 a}[/math]

. visto che x=sen a i valori trovati dovrebbero coincidere...
cmq aspetta la rip di xico con le derivate se non ti esce

[xico87]

dubito che il tuo metodo sia corretto: la funzione di partenza nn è periodica, mentre senx + cosx lo è.. cmq ti ho risp al pm, dimmi se c capisci qlcsa

[La_Padrina_89]

[math][/math]Grazie :) ho tutto chiaro adesso! grazie ancora!

o meglio, credevo di aver chiaro!
Il procedimento che hai seguito l'ho capito,ma quando vado a calcolare derivata ho le "x" che vanno via,ti posto il procedimento... distanza PB
[math](x-0)^2[/math]

+ (radice di 1-

[math]x^2- 2)^2[/math]

=

[math]x^2[/math]

+ 1

[math]-x^2[/math]

-4radice di (

[math]1-x^2)[/math]

+4 = -4 radice di (1-

[math]x^2[/math]

)+5

distanza PA
(

[math]x-2)^2[/math]

+ [radice di (1-

[math]x^2[/math]

) -

[math]0]^2[/math]

=

[math]x^2[/math]

-4x +4 +1 -

[math]x^2[/math]

= -4x +5

Le sommo... -4radice di (1-

[math]x^2[/math]

) +5 -4x +5 = -4radice di (1-

[math]x^2[/math]

) +10 -4x
ho elevato al quadrato per togliere la radice e mi viene

[math]16(1-x^2)[/math]

+100 +

[math]16x^2[/math]

= e mi vanno via le

[math]x^2[/math]

...
help!

[plum]

no, hai sbagliato a elevare alla seconda:

[math](a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc[/math]

ti sei dimenticata i doppi prodotti... e se li aggiungi la radice non scompare!

[La_Padrina_89]

Noooo renditi conto...non so neanche elevare alla seconda, che caso tristeeeeeeeee

[plum]

eheh, sono errori che capitano a tutti (me compreso)!