Problemi di massimi e minimi
Salve, non riesco a risolvere questo problema. Spero che qualcuno mi possa aiutare.
Una figura solida è formata da un parallelepipedo a base quadrata sormontato da una piramide retta con la base coincidente con la base del parallelepipedo e con l’altezza uguale a metà del lato di base. Stabilisci la misura del lato di base in modo che il volume della figura solida misuri 63m³ e che la superficie laterale (formata dalle superfici laterali del parallelepipedo e della piramide) risulti minima
Una figura solida è formata da un parallelepipedo a base quadrata sormontato da una piramide retta con la base coincidente con la base del parallelepipedo e con l’altezza uguale a metà del lato di base. Stabilisci la misura del lato di base in modo che il volume della figura solida misuri 63m³ e che la superficie laterale (formata dalle superfici laterali del parallelepipedo e della piramide) risulti minima
Risposte
ciao Monica!
ci proviamo...
volume del parallelepipedo = $V_(par)=a^2b$ essendo b la sua altezza e a il lato del quadrato che costituisce la sua base e anche la base della piramide
vollume della piramide = $V_(p)=a^2 h/3= a^3/6$ essendo hla sua altezza uguale per ipotesi ad a/2
Volume di tutto quanto=>$V_(t)=a^2 b + a^3/6=a^2(b+a/6)= 63$ metri cubi
da questo mi ricavo b
$b=63/a^2 - a/6$ fin qui tutto ok??
Superf laterale parallelepipedo = $Sl_(par)=4ab$
Superf laterale piramide =$Sl_(p)= sqrt(2) a^2$ correggimi se ho sbagliato i calcoli... li ho fati per scontati qui...torna anche a te???
Superf laterale totale= $Sl_(t)=sqrt(2) a^2 + 4ab$
inserisco il valore di b trovato prima
Superf laterale totale= $Sl_(t)=(sqrt(2)-2/3)a^2+252/a=y$
quindi la superficie laterale totale che chiamo per semplicità y è funzione di a... adesso dobbiamo trovare il minimo... quindi dobbiamo derivare e mettere a zero la derivata
$y'=2(sqrt(2)-2/3)a-252/a^2=0$
risolvo essendo a la incognita e trovo
$a=5.52$ circa
potrei aver sbagliato i calcoli adesso ricontrollo
ti torna?? il metodo che ho seguito lo hai capito??
ciao!!
ci proviamo...
volume del parallelepipedo = $V_(par)=a^2b$ essendo b la sua altezza e a il lato del quadrato che costituisce la sua base e anche la base della piramide
vollume della piramide = $V_(p)=a^2 h/3= a^3/6$ essendo hla sua altezza uguale per ipotesi ad a/2
Volume di tutto quanto=>$V_(t)=a^2 b + a^3/6=a^2(b+a/6)= 63$ metri cubi
da questo mi ricavo b
$b=63/a^2 - a/6$ fin qui tutto ok??
Superf laterale parallelepipedo = $Sl_(par)=4ab$
Superf laterale piramide =$Sl_(p)= sqrt(2) a^2$ correggimi se ho sbagliato i calcoli... li ho fati per scontati qui...torna anche a te???
Superf laterale totale= $Sl_(t)=sqrt(2) a^2 + 4ab$
inserisco il valore di b trovato prima
Superf laterale totale= $Sl_(t)=(sqrt(2)-2/3)a^2+252/a=y$
quindi la superficie laterale totale che chiamo per semplicità y è funzione di a... adesso dobbiamo trovare il minimo... quindi dobbiamo derivare e mettere a zero la derivata
$y'=2(sqrt(2)-2/3)a-252/a^2=0$
risolvo essendo a la incognita e trovo
$a=5.52$ circa
potrei aver sbagliato i calcoli adesso ricontrollo
ti torna?? il metodo che ho seguito lo hai capito??
ciao!!
fino al calcolo della superficie laterale totale abbiamo fatto lo stesso procedimento.. adesso provo a continuare... grazie
per me b era (378-x^3 )/ 6x^2. poi ho calcolato la Sup laterale usando b così e
ho calcolato la derivata... il risultato è -12x^3-2268+18x^3 radice di 2.
ho calcolato la derivata... il risultato è -12x^3-2268+18x^3 radice di 2.
ciao Monica
Mi sa che i nostri "b" sono uguali... tu hai fatto minimo comune multilplo io no... ma sono gli stessi... tranne che tu chiami "x" quello che io chiamo "a"
poi quando scrivi
"il risultato è -12x^3-2268+18x^3 radice di 2" anche qui siamo uguali... prova a dividere tutto per 3 dato che lo puoi fare e ottieni la stessa identica equazione mia con la derivata
$y'=2(sqrt(2)-2/3)a-252/a^2=0$ che portata avanti facendo mcm diventa
$(6sqrt(2)-4)a^3=756$ che è appunto la tua divisa per 3... quindi torna tutto...
adesso però il risultato devi dare... cioè il valore di $x$... e la x è la radice cubica di tutto quel pasticcio... è giusto $x= 5.52$?? anche a te viene così??
EDIT: avevo sbagliato a usare la calcolatrice!!!!
adesso ho scritto il numero giusto... 5.52!
Mi sa che i nostri "b" sono uguali... tu hai fatto minimo comune multilplo io no... ma sono gli stessi... tranne che tu chiami "x" quello che io chiamo "a"
poi quando scrivi
"il risultato è -12x^3-2268+18x^3 radice di 2" anche qui siamo uguali... prova a dividere tutto per 3 dato che lo puoi fare e ottieni la stessa identica equazione mia con la derivata
$y'=2(sqrt(2)-2/3)a-252/a^2=0$ che portata avanti facendo mcm diventa
$(6sqrt(2)-4)a^3=756$ che è appunto la tua divisa per 3... quindi torna tutto...
adesso però il risultato devi dare... cioè il valore di $x$... e la x è la radice cubica di tutto quel pasticcio... è giusto $x= 5.52$?? anche a te viene così??
EDIT: avevo sbagliato a usare la calcolatrice!!!!
adesso ho scritto il numero giusto... 5.52!
sul libro il risultato me lo lascia con la radice
non riesco a capire... se fai la radice viene quello che ti ho scritto??
il risultato del tuo libro è questo?
$x=root(3)(378/(3sqrt(2)-2))$
che sarebbe quello che viene col procedimento che di descrivevo prima
ma in tutto ciò non ho ancora capito... il problema lo hai risolto? hai capito i passaggi? li avevi già fatti così tu? non ti veniva solo il risultato? che cosa non ti era chiaro?
il risultato del tuo libro è questo?
$x=root(3)(378/(3sqrt(2)-2))$
che sarebbe quello che viene col procedimento che di descrivevo prima
ma in tutto ciò non ho ancora capito... il problema lo hai risolto? hai capito i passaggi? li avevi già fatti così tu? non ti veniva solo il risultato? che cosa non ti era chiaro?
i passaggi li ho capiti, l'unico problema era che il risultato non mi usciva quindi pensavo di aver commesso degli errori nel procedimento. il risultato del libro è $3root(3)((3)(sqrt(2))+2)$
che è lo stesso identico mio risultato che ti ho scritto sopra... basta razionalizzare guarda
$x=root(3)((378/(3sqrt(2)-2)))= root(3)((378(3sqrt(2)+2))/14)=root(3)(27(3sqrt(2)+2))=3root(3)(3sqrt(2)+2)$
allora direi che ci siamo... viene 5.52 circa se calcoli quella radice cubica
Prima avevo sbagliato a usare la calcolatrice adesso ho corretto sopra il valore numerico
$x=root(3)((378/(3sqrt(2)-2)))= root(3)((378(3sqrt(2)+2))/14)=root(3)(27(3sqrt(2)+2))=3root(3)(3sqrt(2)+2)$
allora direi che ci siamo... viene 5.52 circa se calcoli quella radice cubica
Prima avevo sbagliato a usare la calcolatrice
adesso ho corretto sopra il valore numerico
ok ci siamo.. grazie mille
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