Problemi di geometria di primo grado. (81885)
Determinare il perimetro del triangolo ABC rettangolo in C ,sapendo che il cateto AC misura 16 cm, e che il rapporto degli altri due lati è 15/17. Sapendo che la distanza PQ di un punto P del cateto BC dall'ipotenusa AB misura 4 cm, Determinare il perimetro del triangolo PBQ e quello del quadrilatero ACPQ.
Risultato [80;20;68]
Dato un triangolo ABC di lati AB=28cm, BC=30cm,AC=26cm,e preso su BC il punto D tale che BD=2*CD,determinare la distanza dei punti C e D dal lato AB.
[24;26]
Risultato [80;20;68]
Dato un triangolo ABC di lati AB=28cm, BC=30cm,AC=26cm,e preso su BC il punto D tale che BD=2*CD,determinare la distanza dei punti C e D dal lato AB.
[24;26]
Risposte
Ciao Antonio. Ecco le soluzioni:
1) PROBLEMA 1:
Si sa che:
Utilizzando il teorema di Pitagora posso scrivere che:
Il segmento PQ, distanza del punto P da AB, dev'essere perpendicolare a quest'ultimo lato. Il traingolo PBQ è dunque rettangolo.
Il traingolo PBQ è simile al triangolo ABC, poichè di due triangoli hanno i tre angoli della stessa ampiezza: un angolo è infatti retto, QBP è in comune, e il terzo angolo dev'essere uguale di conseguenza, giacchè qualunque traingolo ha la somma degli angoli interni pari a 180°.
PQ è dunque proporzionale ad AC, e quasto vale anche per PB e AB, e QB e CB.
Quindi
Aggiunto 15 minuti più tardi:
2) PROBLEMA 2:
La distanza dei punti C e D dal lato AB si determina tracciando da C e da D due segmenti perpendicolari ad AB. Chiamo H il punto dove la perpendicolare condotta da C incontra AB e K quello dove la perpendicolare condotta da D taglia AB.
Condisidero prima il traingolo HCB, che è rettangolo.
Anche il traingolo CAH è rettangolo.
Di questi due traingoli sono che:
Applico il teorema di Pitagora a questi due traingoli:
Posso scrivere:
Ma poichè AH + HB = AB
Al posto di AH scrivo dunque questo valore:
Quindi
Il trianoglo DKB è simile al traingolo BCH, per costruzione. Infatti i due traingoli hanno gli angoli uguali.
Il testo del problema ci dice poi che:
Quindi:
Allora
Ciao, a presto!
1) PROBLEMA 1:
Si sa che:
[math]AC = 16 cm[/math]
[math]BC/AB =15/17[/math]
, cioè [math]BC = 15/17*AB[/math]
Utilizzando il teorema di Pitagora posso scrivere che:
[math]AC^2 = AB^2 - BC^2[/math]
[math]AC^2 = AB^2 -(15/17*AB)^2 [/math]
[math]AC^2 = AB^2 -225/289*AB^2[/math]
[math]AC^2 = 289/289*AB^2 - 225/289 AB^2[/math]
[math]AC^2 = 64/289*AB^2[/math]
[math]AB = \sqrt{AC^2*289/64} = \sqrt{16^2*289/64} = 34 cm[/math]
[math]BC = 15/17*AB = 15/17*34 = 30 cm[/math]
[math]P = 34 + 30 + 16 = 80 cm[/math]
Il segmento PQ, distanza del punto P da AB, dev'essere perpendicolare a quest'ultimo lato. Il traingolo PBQ è dunque rettangolo.
Il traingolo PBQ è simile al triangolo ABC, poichè di due triangoli hanno i tre angoli della stessa ampiezza: un angolo è infatti retto, QBP è in comune, e il terzo angolo dev'essere uguale di conseguenza, giacchè qualunque traingolo ha la somma degli angoli interni pari a 180°.
PQ è dunque proporzionale ad AC, e quasto vale anche per PB e AB, e QB e CB.
[math]PQ/AC = 4/16 = 1/4[/math]
Quindi
[math]P (PQB) = P(ABC)/4 = 80/4 = 20 cm[/math]
[math]P (ACPQ) = AC + PQ + AQ + CP[/math]
[math]CP = CB - PB = CB - AB/4 = 30 -8,5 = 21,5 cm[/math]
[math]AQ = AB - QB = AB - CB/4 = 34 -30/4 = 26,5 cm[/math]
[math]P (ACPQ) = 16 + 4 + 21,5 + 26,5 = 68 cm [/math]
Aggiunto 15 minuti più tardi:
2) PROBLEMA 2:
La distanza dei punti C e D dal lato AB si determina tracciando da C e da D due segmenti perpendicolari ad AB. Chiamo H il punto dove la perpendicolare condotta da C incontra AB e K quello dove la perpendicolare condotta da D taglia AB.
Condisidero prima il traingolo HCB, che è rettangolo.
Anche il traingolo CAH è rettangolo.
Di questi due traingoli sono che:
[math]AH + HB = AB = 28 cm[/math]
[math]AC = 26 cm[/math]
[math]BC = 30 cm[/math]
[math]HC [/math]
è invece in comune.Applico il teorema di Pitagora a questi due traingoli:
[math]HC^2 = AC^2 -AH^2[/math]
(per ACH)[math]HC^2 = BC^2 -BH^2[/math]
(per CBH)Posso scrivere:
[math]AC^2 -AH^2 =BC^2 -BH^2 [/math]
Ma poichè AH + HB = AB
[math][/math], posso dire che [math]AH = AB - HB[/math]
. Al posto di AH scrivo dunque questo valore:
[math]AC^2 -(AB-BH)^2 =BC^2 -BH^2 [/math]
[math]26^2 -(AB^2 + BH^2 -2AB*BH) =30^2 -BH^2 [/math]
[math]676 -(28^2 + BH^2 -56*BH) =900 -BH^2 [/math]
[math] -(784 + BH^2 -56*BH) =224 -BH^2 [/math]
[math] - BH^2 +56*BH =1008 -BH^2 [/math]
[math] +56*BH =1008 [/math]
[math]HB = 1008/56 = 18 cm[/math]
Quindi
[math]CH = \sqrt{BC^2 - HB^2}= \sqrt{30^2 - 18^2}= 24 cm[/math]
Il trianoglo DKB è simile al traingolo BCH, per costruzione. Infatti i due traingoli hanno gli angoli uguali.
Il testo del problema ci dice poi che:
[math]DB = 2CD[/math]
Quindi:
[math]CB = CD + DB = DB/2 + DB = 3/2 DB[/math]
[math]DB = CB*2/3 [/math]
Allora
[math]DK = 2/3*CH = 2/3*24 = 16 cm[/math]
Ciao, a presto!
1)CB/AB=15/17 quindi CB=15AB/17
per il teorema di pitagora si ha:
il perimetro ABC è
PQB è simile a ABC perchè hanno angoli uguali
PQ:AC=PB:AB
il perimetro PBQ è
il perimetro CAQP è
------------------------------------------------------------------------
calcoliamo l'area con la formula di erone
p=(30+28+26):2=42
Area ABC=
ricaviamo l'altezza CH che è anche la distanza di C da AB
se da D mandiamo una parallela ad AC, ricaviamo un triangolo simile ad ABC
BD=2CD ma BD+CD=30 quindi BD=20
quindi la distanza x di D da AB è x=24*20:30=16
Aggiunto 1 minuto più tardi:
Ali, ho visto solo ora la tua soluzione, ma lascio anche la mia perchè nel secondo ho usato un metodo diverso...
per il teorema di pitagora si ha:
[math]AB^2=16^2+(15/17)^2 AB^2[/math]
[math]AB^2=16^2+(15/17)^2 AB^2[/math]
[math]64AB^2=289*256[/math]
[math]AB^2=1156[/math]
quindi [math]AB=34 [/math]
e [math]CB=15*34/17=30 [/math]
il perimetro ABC è
[math]16+30+34=80[/math]
PQB è simile a ABC perchè hanno angoli uguali
PQ:AC=PB:AB
[math]4:16=PB:34[/math]
[math]PB=4*34/16=8,5 [/math]
[math]QB= \sqrt{8,5^2-4^2}=7,5[/math]
il perimetro PBQ è
[math]8,5+7,5+4=20[/math]
il perimetro CAQP è
[math]16+4+(34-7,5)+(30-8,5)=68[/math]
------------------------------------------------------------------------
calcoliamo l'area con la formula di erone
p=(30+28+26):2=42
Area ABC=
[math]\sqrt{42(42-30)(42-28 \right)(42-26)} = \sqrt{112896} =336[/math]
(ignora la freccia)ricaviamo l'altezza CH che è anche la distanza di C da AB
[math]CH=2*336/28=24[/math]
se da D mandiamo una parallela ad AC, ricaviamo un triangolo simile ad ABC
BD=2CD ma BD+CD=30 quindi BD=20
[math]20:30=x:24[/math]
quindi la distanza x di D da AB è x=24*20:30=16
Aggiunto 1 minuto più tardi:
Ali, ho visto solo ora la tua soluzione, ma lascio anche la mia perchè nel secondo ho usato un metodo diverso...
Certamente, hai fatto bene: è sempre importante sentire tutte le campane!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo