Problemi di geometria
mi potete aiutare a risolvere questi problemi...io c'ho provato ma nn ci sono riuscita!!
1)In un trapezio isoscele le congiungenti i punti medi dei lati formano un rombo.
2)Il triangolo ke si ottene congiungendo i punti medi dei lati di un triangolo,ha con questo in comune le mediane
1)In un trapezio isoscele le congiungenti i punti medi dei lati formano un rombo.
2)Il triangolo ke si ottene congiungendo i punti medi dei lati di un triangolo,ha con questo in comune le mediane
Risposte
primo:
trapezio ABCD con:
H punto medio di AB
I punto medio di BC
J punto medio di CD
K punto medio di DA
la diagonale AC divide il trapezio in due triangoli (DAC e ABC) e per il teorema dei punti medi si ha che KJ è parallelo a AC e che HI è parallelo a AC; per la proprietà transitiva, JK è parallelo a HI. stessa cosa vale se si considera la diagonale DB, quindi JI è parallelo a KH.
visto che il quadrilatero HIJK ha i lati opposti paralleli è un parallelogramma, quindi JI=KH e KJ=HI.
i triangoli DKJ e JCI hanno:
1) DJ=JC (per costruzione)
2) KDJ (l'angolo)=ICJ (per costruzione)
3) CI=DK (sono entrambi la metà di AD, perchè per costruzione AD=CB)
per il primo teorema dei triangoli (LAL) i due triangoli sono congruenti, quindi possiamo affermare che JI=KJ
visto che JI=KH (l'abbiamo dimostrato prima) e che JI=KJ (appena dimostrato), JI=KH=KJ (proprietà transitiva); inoltre sappiamo che KJ=HI, quindi JI=KH=KJ=HI.
visto che il quadrilatero HIJK ha tutti i lati uguali è un rombo.
secondo:
triangolo ABC con
J punto medio di AB
K punto medio di BC
H punto medio di CA
chiamo poi:
O l'intersezione tra CJ e HK
M l'intersezione tra AK e HJ
N l'intersezione tra BH e KJ
(ti consiglio nel disegno di segnare solo il punto O e non anche gli altri 2, altrimenti viene un disegno troppo complicato)
per il teorema dei punti medi AB è parallelo a HK; la retta CJ (la mediana) è trasversale alle rette parallele AB e HK, quindi per Talete (credo sia lui) OH:OK=AJ:JB. visto che AJ=JB ---> OH=OK ---> O è il punto medio di HK. la mediana di vertice J del triangolo JKH sarà quindi JO, che (per costruzione) è una parte della mediana CJ.
applichi poi lo stesso ragionamento con i punti M N.
trapezio ABCD con:
H punto medio di AB
I punto medio di BC
J punto medio di CD
K punto medio di DA
la diagonale AC divide il trapezio in due triangoli (DAC e ABC) e per il teorema dei punti medi si ha che KJ è parallelo a AC e che HI è parallelo a AC; per la proprietà transitiva, JK è parallelo a HI. stessa cosa vale se si considera la diagonale DB, quindi JI è parallelo a KH.
visto che il quadrilatero HIJK ha i lati opposti paralleli è un parallelogramma, quindi JI=KH e KJ=HI.
i triangoli DKJ e JCI hanno:
1) DJ=JC (per costruzione)
2) KDJ (l'angolo)=ICJ (per costruzione)
3) CI=DK (sono entrambi la metà di AD, perchè per costruzione AD=CB)
per il primo teorema dei triangoli (LAL) i due triangoli sono congruenti, quindi possiamo affermare che JI=KJ
visto che JI=KH (l'abbiamo dimostrato prima) e che JI=KJ (appena dimostrato), JI=KH=KJ (proprietà transitiva); inoltre sappiamo che KJ=HI, quindi JI=KH=KJ=HI.
visto che il quadrilatero HIJK ha tutti i lati uguali è un rombo.
secondo:
triangolo ABC con
J punto medio di AB
K punto medio di BC
H punto medio di CA
chiamo poi:
O l'intersezione tra CJ e HK
M l'intersezione tra AK e HJ
N l'intersezione tra BH e KJ
(ti consiglio nel disegno di segnare solo il punto O e non anche gli altri 2, altrimenti viene un disegno troppo complicato)
per il teorema dei punti medi AB è parallelo a HK; la retta CJ (la mediana) è trasversale alle rette parallele AB e HK, quindi per Talete (credo sia lui) OH:OK=AJ:JB. visto che AJ=JB ---> OH=OK ---> O è il punto medio di HK. la mediana di vertice J del triangolo JKH sarà quindi JO, che (per costruzione) è una parte della mediana CJ.
applichi poi lo stesso ragionamento con i punti M N.
grazie 1000!!!
di niente!:hi
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