Problemi con euclide e pitagora

[antonio capraro]

in un triangolo rettangolo una delle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa supera l'altezza a questa relativa di 21 cm,l'altra è inferiore all'altezza stessa di 20 cm.calcolare le lunghezze dei lati del triangolo e delle distanze del piede dell'altezza relativa all'ipotenusa dai due cateti

[BIT5]

Il secondo teorema di Euclide dice che l'altezza relativa all'ipotenusa e' medio proporzionale alle proiezioni dei cateti costruiti sull'ipotenusa.

Poniamo x l'altezza.

Le due proiezioni, per quanto detto dalle ipotesi, saranno:

21+x

x-20

E il teorema di Euclide si traduce dunque:

[math] 21+x : x = x : x-20 [/math]

Da cui abbiamo

[math] x^2=(21+x)(x-20) \to x^2=21x-420+x^2-20x \to x=420 [/math]

L'altezza sara' dunque 420, e le proiezioni dunque 420+21=441 e 420-20=400

Per il secondo esercizio, considera che le distanze tra il piede dell'altezza e i cateti sono le lunghezze dei segmenti perpendicolari ai cateti.

Qui puoi procedere in piu' modi, ma io semplicemente farei cosi':

L'ipotenusa e' la somma delle proiezioni, quindi sara' 400+441=841.

Per il primo di Eucilde, sappiamo che la radice del prodotto di proiezione e ipotenusa da' il cateto di cui consideri l'ipotenusa.

Quindi i cateti saranno rispettivamente:

[math] C_1= \sqrt{841 \cdot 400} \ \ \ C_2= \sqrt{841 \cdot 441} [/math]

Ora puoi calcolare l'area dei due triangoli (ovvero di quello rettangolo formato dalla proiezione di un cateto e l'altezza e dal triangolo formato dall'altra proiezione e l'altezza)

Conoscendo le due aree, consideri come base ogni cateto, e per la formula inversa ne ricavi l'altezza relativa, che altro non e' che il segmento perpendicolare alla base (il cateto) che unisce appunto il cateto al vertice opposto (che e' il piede dell'altezza relativa all'ipotenusa del triangolo intero)

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