Problemi
ragazzi mi servirebbe una aiuto per questi problemi di maturità....ke ne dite?
l. In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy è dato il Ao (1,0).
Si costruisca il triangolo rettangolo OAoA1 avente il vertice A1 sull'asse delle ordinate e sia a l'angolo . Si conduca per A1 la perpendicolare alla retta AoA1 che incontra l'asse delle ascisse in A2; si conduca per A2 la perpendicolare alla retta A1A2 che incontra l'asse delle ordinate in A3 e così via, ottenendo una spezzata AoA1A2A3...An-1An, i cui vertici di indice dispari appartengono all'asse delle ordinate e quelli di indice pari all'asse delle ascisse.
Il candidato;
a) dimostri che le lunghezze dei lati della spezzata sono in progressione geometrica calcoli la lunghezza ln della spezzata (la somma dei primi n termini di una progressione geometrica di primo termine ao e ragione q è );
b) determini il limite di ln al tendere di n all'infinito distinguendo i due casi:
e verificando che nel caso 1) detto limite assume valore finito l (a );
c) Studi in detto caso, come varia l(a) al variare di a.
d) descriva una procedura che, con riferimento alla definizione di progressione geometrica, consenta di calcolare la lunghezza ln della spezzata AoA1A2A3...An-1An e la codifichi in un linguaggio di programmazione conosciuto.
l. In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy è dato il Ao (1,0).
Si costruisca il triangolo rettangolo OAoA1 avente il vertice A1 sull'asse delle ordinate e sia a l'angolo . Si conduca per A1 la perpendicolare alla retta AoA1 che incontra l'asse delle ascisse in A2; si conduca per A2 la perpendicolare alla retta A1A2 che incontra l'asse delle ordinate in A3 e così via, ottenendo una spezzata AoA1A2A3...An-1An, i cui vertici di indice dispari appartengono all'asse delle ordinate e quelli di indice pari all'asse delle ascisse.
Il candidato;
a) dimostri che le lunghezze dei lati della spezzata sono in progressione geometrica calcoli la lunghezza ln della spezzata (la somma dei primi n termini di una progressione geometrica di primo termine ao e ragione q è );
b) determini il limite di ln al tendere di n all'infinito distinguendo i due casi:
e verificando che nel caso 1) detto limite assume valore finito l (a );
c) Studi in detto caso, come varia l(a) al variare di a.
d) descriva una procedura che, con riferimento alla definizione di progressione geometrica, consenta di calcolare la lunghezza ln della spezzata AoA1A2A3...An-1An e la codifichi in un linguaggio di programmazione conosciuto.
Risposte
la traccia nn è corretta adesso vi metto i link delle traccie, datemi na mano:
allora http://www.matefilia.it/maturita/spe95/spe95.htm
ho problemi con il numero 1
http://www.matefilia.it/maturita/spe95s/spe95s.htm
ho problemi con 1 e 2
vi ringrazio degli aiuti che mi darete...
allora http://www.matefilia.it/maturita/spe95/spe95.htm
ho problemi con il numero 1
http://www.matefilia.it/maturita/spe95s/spe95s.htm
ho problemi con 1 e 2
vi ringrazio degli aiuti che mi darete...
non capisco dove sono i tuoi problemi sul 1 del spe95...apparte il fatto che sul punto b) è chiaramente sbagliato il testo...
vecchio hai ragione, infatti vedi che sotto ho inserito i link delle traccie
grazie
grazie
cmq ti traccio la mia soluzione...
immagino tu abbia fatto il grafico e segnato l'angolo alfa. ora perdonami ma nello svolgere il problema ho chiamato l la lunghezza di ogni singolo pezzo della spezzata, mentre il problema chiama Ln la somma n-esima di tali lunghezze...cmq spero che capirai ugualmente...
intanto, per costruzione, 0<@
per motivi di trigonometria, che non ti sto a spiegare perche' li sai meglio di me
L1=1/cos@
L2=L1*tg@
L3=L2*tg@=L1*[tg@]^2
L4=L1*[tg@]^3
..
Ln=L1*[tg@]^(n-1)
questa ricorsivita' dipende evidentemente dal fatto che i triangoli che si formano sono via via simili tra loro, e quindi sempre dipendenti dallo stesso @.
ecco dunque che si presenta una progressione geometrica di ragione q=tg@.
la lunghezza della spezzata e' facile ora da trovare....la formula te la da' gia' il testo (nn che sia difficile da ricavare...vero?[;)])
per cui
a questo punto distinguiamo due casi,
1)se @>pi/4
2)se @
nel primo caso 1)
tg@>1 ==> [tg@]^n tende a +OO per n che tende a +OO e quindi anche Sn tende a +OO
nel secondo caso 2)
tg@<1 ==> [tg@]^n tende a 0 per n->+OO, quindi Sn->1/(cos@(1-tg@))
cioe'
lim Sn = 1/(cos@-sin@) per n->+OO.
adesso credo che la richiesta del punto c) sia di studiare la funzione y=1/(cos@-sin@)...nulla di difficile...ricorda pero' che la funzione e' definita per 0<@
per quanto riguarda poi l'ultimo punto e' sufficiente creare un ciclo in cui ogni volta l'ingresso viene moltiplicato per tg@ e sommato al risultato precedente, che salverai in una variabile SOMMA.
se hai bisogna di qualche dettaglio in piu' fammi sapere...ma il programma e' veramente semplice...almeno in Pascal..
ciao
il vecchio
immagino tu abbia fatto il grafico e segnato l'angolo alfa. ora perdonami ma nello svolgere il problema ho chiamato l la lunghezza di ogni singolo pezzo della spezzata, mentre il problema chiama Ln la somma n-esima di tali lunghezze...cmq spero che capirai ugualmente...
intanto, per costruzione, 0<@
per motivi di trigonometria, che non ti sto a spiegare perche' li sai meglio di me
L1=1/cos@
L2=L1*tg@
L3=L2*tg@=L1*[tg@]^2
L4=L1*[tg@]^3
..
Ln=L1*[tg@]^(n-1)
questa ricorsivita' dipende evidentemente dal fatto che i triangoli che si formano sono via via simili tra loro, e quindi sempre dipendenti dallo stesso @.
ecco dunque che si presenta una progressione geometrica di ragione q=tg@.
la lunghezza della spezzata e' facile ora da trovare....la formula te la da' gia' il testo (nn che sia difficile da ricavare...vero?[;)])
per cui
1-q^n
Sn=L1*-------
1-q
sostituisci e trovi
1-[tg@]^n
Sn=-----------
cos@(1-tg@)
a questo punto distinguiamo due casi,
1)se @>pi/4
2)se @
nel primo caso 1)
tg@>1 ==> [tg@]^n tende a +OO per n che tende a +OO e quindi anche Sn tende a +OO
nel secondo caso 2)
tg@<1 ==> [tg@]^n tende a 0 per n->+OO, quindi Sn->1/(cos@(1-tg@))
cioe'
lim Sn = 1/(cos@-sin@) per n->+OO.
adesso credo che la richiesta del punto c) sia di studiare la funzione y=1/(cos@-sin@)...nulla di difficile...ricorda pero' che la funzione e' definita per 0<@
per quanto riguarda poi l'ultimo punto e' sufficiente creare un ciclo in cui ogni volta l'ingresso viene moltiplicato per tg@ e sommato al risultato precedente, che salverai in una variabile SOMMA.
se hai bisogna di qualche dettaglio in piu' fammi sapere...ma il programma e' veramente semplice...almeno in Pascal..
ciao
il vecchio
ovviamente @ sta per alfa...ho dovuto modificare il post perchè non so per quale motivo non venvano visualizzate le lettere accentate!! boh...
si appunto...anche sul link è sbagliata la traccia!!!
ho guardato invece la tabella del problema 3 del secondo link...è un tantino imbarazzante non trovi??[:I][:D][:D][:D][:D][:D][:D]
ho guardato invece la tabella del problema 3 del secondo link...è un tantino imbarazzante non trovi??[:I][:D][:D][:D][:D][:D][:D]
AHAHAHAHAHAH!!! [:D][:D][:D][:D][:D][:D]
grazie vecchio!!!hai ragione sulla tabella...ahahahahahah!!cmq ragazzi ci sn altri problemi datemi una mano
ma questo è chiaro??
si si tutto kiaro, il problema era individuare la progressione...per gli altri nessuno mi aiuta....
Faccio il 2° di spes95
L'equazione della circonferenza è (x-a)^2+(y+a)^2=R^2
Ponendo y=0 ottieni il polinomio
x^2-2ax+2a^2-R^2=0
Quindi 2sqrt2=|x(1)-x(2)|=sqrt(B^2-4AC)/A=sqrt(4a^2-8a^2+4R^2)=
2sqrt(R^2-a^2)
da cui R^2=2+a^2
Sostituendo si ottiene l'equazione della circonferenza
x^2+y^2+a^2-2ax+2ay=2
che può essere scritta come
(x-y-a)^2+2xy=2
In particolare se xy=1 si ha:
(x-1/x-a)^2=0
L'equazione della circonferenza è (x-a)^2+(y+a)^2=R^2
Ponendo y=0 ottieni il polinomio
x^2-2ax+2a^2-R^2=0
Quindi 2sqrt2=|x(1)-x(2)|=sqrt(B^2-4AC)/A=sqrt(4a^2-8a^2+4R^2)=
2sqrt(R^2-a^2)
da cui R^2=2+a^2
Sostituendo si ottiene l'equazione della circonferenza
x^2+y^2+a^2-2ax+2ay=2
che può essere scritta come
(x-y-a)^2+2xy=2
In particolare se xy=1 si ha:
(x-1/x-a)^2=0
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