Problema vettori
Ciao a tutti quest oggi sto provando a risolvere alcuni esercizi inerenti ai vettori... ebbene ne ho qui uno che mi sta facendo pensare parecchio:
Quali punti della retta passante per $A=(6;-8;3)$ e $B=(-6;8;7)$ si trovano ad una distanza di 3 dal punto $C=(1;-2;3)$ ?
La prima cosa che mi è venuta in mente è stata quella di definire la retta passante per il punto $A$ e $B$ in questo modo:
$( ( x),( y ),( z ) )= vec(oa) + lambdavec(ab)$
dove $vec(oa)$ è il vettore che parte dall'origine e mi porta sul punto $A$ della retta.
Dove $lambdavec(ab)$ è il vettore direzionale della retta.
quindi la retta passante per $A$ e $B$ è:
$( ( x),( y ),( z ) )= ( (6),( -8 ),(3 ) ) + lambda( ( -12),( 16 ),( 4 ) )$
Il punto $C$ non si trova sulla retta... ho controllato con un sistema ed è saltato fuori che non si trova sulla retta.
quindi definisci anche il $vec(ac)$
ossia:
$vec(ac)=( ( -5),( 6 ),( 0 ) )$
ora ho calcolato la distanza piu corta che c'è fra il punto $C$ e un punto della retta con la formula della distanza punto-retta
che non è nient'altro che $A=b*h$ quindi $h=A/b$
quindi
$d=[||vec(ab)xxvec(ac)||]/[||vec(ab)||]=1.5811$
a me serve trovare i punti che mi diano distanza $3$
e qui non so come continuare ...
ora per trovare il punto esatto della retta dove la distanza dal punto $C$ e' di $1.5811$ non ci sono problemi ..
faccio una proiezione del vettore $vec(ac)$ sul vettore $vec(ab)$ cosi trovo il vettore $vec(ah)$ dove $h$ è il punto della retta che da distanza $1.5811$ dal punto $C$.
quindi $vec(oa)+vec(ah)=vec(oh) = H$
il fatto che il punto $H$ non ha distanza 3 ... e qui non so come fare
Quali punti della retta passante per $A=(6;-8;3)$ e $B=(-6;8;7)$ si trovano ad una distanza di 3 dal punto $C=(1;-2;3)$ ?
La prima cosa che mi è venuta in mente è stata quella di definire la retta passante per il punto $A$ e $B$ in questo modo:
$( ( x),( y ),( z ) )= vec(oa) + lambdavec(ab)$
dove $vec(oa)$ è il vettore che parte dall'origine e mi porta sul punto $A$ della retta.
Dove $lambdavec(ab)$ è il vettore direzionale della retta.
quindi la retta passante per $A$ e $B$ è:
$( ( x),( y ),( z ) )= ( (6),( -8 ),(3 ) ) + lambda( ( -12),( 16 ),( 4 ) )$
Il punto $C$ non si trova sulla retta... ho controllato con un sistema ed è saltato fuori che non si trova sulla retta.
quindi definisci anche il $vec(ac)$
ossia:
$vec(ac)=( ( -5),( 6 ),( 0 ) )$
ora ho calcolato la distanza piu corta che c'è fra il punto $C$ e un punto della retta con la formula della distanza punto-retta
che non è nient'altro che $A=b*h$ quindi $h=A/b$
quindi
$d=[||vec(ab)xxvec(ac)||]/[||vec(ab)||]=1.5811$
a me serve trovare i punti che mi diano distanza $3$
e qui non so come continuare ...
ora per trovare il punto esatto della retta dove la distanza dal punto $C$ e' di $1.5811$ non ci sono problemi ..
faccio una proiezione del vettore $vec(ac)$ sul vettore $vec(ab)$ cosi trovo il vettore $vec(ah)$ dove $h$ è il punto della retta che da distanza $1.5811$ dal punto $C$.
quindi $vec(oa)+vec(ah)=vec(oh) = H$
il fatto che il punto $H$ non ha distanza 3 ... e qui non so come fare
Risposte
Una volta che hai definito in forma parametrica la tua retta hai quindi che un generico punto su quest'ultima è dato da: $P:(6-12lambda, -8+16lambda, 4lambda+3)$ . Con la formula della distanza tra punti puoi imporre che $PC$ sia uguale a 3. Ottieni un'equazione in $lambda$, risolvi e troverai i valori del parametro e , quindi, i punti della retta cercati.
grazie
io ho trovato il $vec(pc)=( ( -5+12lambda ),( 6-16lambda ),( -4lambda ) ) $
adesso dovrei fare $sqrt(( -5+12lambda )^2+( 6-16lambda )^2+( -4lambda )^2)=3$
giusto?
io ho trovato il $vec(pc)=( ( -5+12lambda ),( 6-16lambda ),( -4lambda ) ) $
adesso dovrei fare $sqrt(( -5+12lambda )^2+( 6-16lambda )^2+( -4lambda )^2)=3$
giusto?
Non capisco cosa intendi con la prima scrittura; ma comunque la formula della distanza è espressa bene, se non ho fatto male i conti! 
intendevo che devo risolvere quell'equazione no?
alla fine mi esce una funzione di secondo grado...
dove ottengo $lambda=1/2$ e $lambda=1/4$
alla fine mi esce una funzione di secondo grado...
dove ottengo $lambda=1/2$ e $lambda=1/4$
Si i valori dovrebbero essere quelli...
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