Problema trigonometria
Il triangolo acutangolo ABC è inscritto in una circonferenza di raggio 5; la misura del lato AB è 5(rad3) e quella del lato AC è 8. Calcolare l'area del triangolo.
aiutatemi pleaseeee!!
aiutatemi pleaseeee!!
Risposte
Avendo due lati del triangolo (che si possono considerare come due corde) e il raggio, puoi applicare due volte il teorema della corda per trovarti la misura degli angoli opposti a $AB$ e a $AC$. A questo punto, l'angolo in $A$ è facilmente ricavabile per differenza da $pi$. L'area è data da $1/2ab*sin\alpha$ (dove $a$ e $b$ sono due lati e $alpha$ l'angolo tra essi compreso): hai finito.
Non so se questo è il metodo più veloce, ma in questo momento non mi viene in mente niente di più rapido...
Non so se questo è il metodo più veloce, ma in questo momento non mi viene in mente niente di più rapido...
"Paolo90":
Avendo due lati del triangolo (che si possono considerare come due corde) e il raggio, puoi applicare due volte il teorema della corda per trovarti la misura degli angoli opposti a $AB$ e a $AC$. A questo punto, l'angolo in $A$ è facilmente ricavabile per differenza da $pi$. L'area è data da $1/2ab*sin\alpha$ (dove $a$ e $b$ sono due lati e $alpha$ l'angolo tra essi compreso): hai finito.
Non so se questo è il metodo più veloce, ma in questo momento non mi viene in mente niente di più rapido...
si anche io ho risolto il problema con questo metodo però l'angolo C mi viene di 30° mentre l'angolo B ha seno 4/5 e quindi non so come fare a ricavarmi A perchè non riesco a dare un valore in gradi a B...come faccio??
Se sai che $sinb=4/5$ (ho chiamato $b$ l'angolo in $B$) allora $b=arcsin(4/5)$, cioè, approssimando, $b=53°74'8''$.
"Paolo90":
Se sai che $sinb=4/5$ (ho chiamato $b$ l'angolo in $B$) allora $b=arcsin(4/5)$, cioè, approssimando, $b=53°74'8''$.
ma se io conosco i seni di due angoli non posso ricavarmi il terzo seno senza bisogno di sapere quali sono gli angoli...nel senso se io so che un seno misura 4/5 e uno rad3/2 non c'è nessuna operazione che mi permette di trovare il seno del terzo angolo?? e nel caso ci fosse quale è??
Teorema di Eulero (o dei seni), cioè
$a/(sinalpha)=b/(sinbeta)=c/(singamma)=2r$ con $r$ raggio circonferenza circoscritta.
$a/(sinalpha)=b/(sinbeta)=c/(singamma)=2r$ con $r$ raggio circonferenza circoscritta.
"Paolo90":
Teorema di Eulero (o dei seni), cioè
$a/(sinalpha)=b/(sinbeta)=c/(singamma)=2r$ con $r$ raggio circonferenza circoscritta.
grazie mille ma comunque continua a non darmi..non capisco il perchè...sei stato gentilissimo comunque!!
"Lory90":
grazie mille ma comunque continua a non darmi..non capisco il perchè...sei stato gentilissimo comunque!!
Figurati... Dimmi, piuttosto, che cosa c'è che non torna?
"Paolo90":
[quote="Lory90"]
grazie mille ma comunque continua a non darmi..non capisco il perchè...sei stato gentilissimo comunque!!
Figurati... Dimmi, piuttosto, che cosa c'è che non torna?[/quote]
il risultato dev'essere 2(4rad3 + 9) e non mi torna perchè mi sono ricavato il terzo lato, ovvero c, facendo rad(75-64)=rad11 e andando a ricavarmi il seno dell'angolo mi esce rad11/10...calcolando l'area non torna...provaci tu!!
"Lory90":
però l'angolo C mi viene di 30°
Ne sei sicuro? Perchè io ho iniziato a fare due conti e mi viene fuori un $singamma=sqrt3/2$ che mi dà $gamma=pi/3$, non $pi/6$...
"Paolo90":
[quote="Lory90"]
però l'angolo C mi viene di 30°
Ne sei sicuro? Perchè io ho iniziato a fare due conti e mi viene fuori un $singamma=sqrt3/2$ che mi dà $gamma=pi/3$, non $pi/6$...
[/quote]si si anche a me...ho sbagliato scrivendo...però prova a continuarla e vediamo se ti da
"Lory90":
perchè mi sono ricavato il terzo lato, ovvero c, facendo rad(75-64)=rad11
Attenzione: se non sbaglio mi avevi detto che il triangolo era acutangolo, non rettangolo... Non puoi applicare Pitagora (al massimo Carnot, ma non Pitagora).
"Lory90":
[
ma se io conosco i seni di due angoli non posso ricavarmi il terzo seno senza bisogno di sapere quali sono gli angoli...nel senso se io so che un seno misura 4/5 e uno rad3/2 non c'è nessuna operazione che mi permette di trovare il seno del terzo angolo?? e nel caso ci fosse quale è??
la somma degli angoli interni di un triangolo è $pi$, quindi per trovare il seno del terzo angolo basta applicare le note formule di somma e differenza di angoli
$sin(pi-beta-gamma)=sin(beta+gamma)=sin beta cos gamma+sin gamma cos beta$
Nel tuo caso conosci l'angolo $gamma$ e di conseguenza anche il suo seno e il suo coseno, per l'angolo $beta$, noto il seno puoi calcolare il coseno con la prima relazione fondamentale, e il coseno è sicuramente sicuramente positivo perché il triangolo è acutangolo. $cos beta=sqrt(1-sin^2 beta)=3/5$.
Adesso dovresti riuscire a finire il problema da sola.
Ciao
"amelia":
$sin(pi-beta-gamma)=sin(beta+gamma)=sin beta cos gamma+sin gamma cos beta$
Nel tuo caso conosci l'angolo $gamma$ e di conseguenza anche il suo seno e il suo coseno, per l'angolo $beta$, noto il seno puoi calcolare il coseno con la prima relazione fondamentale, e il coseno è sicuramente sicuramente positivo perché il triangolo è acutangolo. $cos beta=sqrt(1-sin^2 beta)=3/5$.
non ho capito bene il passaggio...nel punto dove dici che nella somma sin beta cos gamma+sin gamma cos beta devo sostituire i valori...non mi rimangono comunque le due incognite che sarebbero cos gamma e sin gamma?? come arrivi al valore 3/5??
indico con $gamma$ l'angolo in C, con $beta $ quello in B, con $alpha$ quello in A
$gamma=pi/3$, per l'angolo $beta$, noto il seno puoi calcolare il coseno che è positivo perché il triangolo è acutangolo. $cos beta=sqrt(1-sin^2 beta)=sqrt(1-(4/5)^2)=3/5$.
$sin alpha=sin(pi-beta-gamma)=sin(beta+gamma)=sin beta cos gamma+sin gamma cos beta=4/5*1/2+sqrt3/2*3/5=(4+3sqrt3)/10$
È più chiaro adesso?
$gamma=pi/3$, per l'angolo $beta$, noto il seno puoi calcolare il coseno che è positivo perché il triangolo è acutangolo. $cos beta=sqrt(1-sin^2 beta)=sqrt(1-(4/5)^2)=3/5$.
$sin alpha=sin(pi-beta-gamma)=sin(beta+gamma)=sin beta cos gamma+sin gamma cos beta=4/5*1/2+sqrt3/2*3/5=(4+3sqrt3)/10$
È più chiaro adesso?
"amelia":
indico con $gamma$ l'angolo in C, con $beta $ quello in B, con $alpha$ quello in A
$gamma=pi/3$, per l'angolo $beta$, noto il seno puoi calcolare il coseno che è positivo perché il triangolo è acutangolo. $cos beta=sqrt(1-sin^2 beta)=sqrt(1-(4/5)^2)=3/5$.
$sin alpha=sin(pi-beta-gamma)=sin(beta+gamma)=sin beta cos gamma+sin gamma cos beta=4/5*1/2+sqrt3/2*3/5=(4+3sqrt3)/10$
È più chiaro adesso?
si si ora è chiaro...e per trovarmi l'angolo in A come faccio?? xkè è quello l'angolo che mi serve per calcolare l'area...
L'angolo non ti serve, ti serve il seno di quell'angolo e lo abbiamo trovato!
"amelia":
L'angolo non ti serve, ti serve il seno di quell'angolo e lo abbiamo trovato!
si si scusa avevo letto male...grazie mille...ascolta mi sai dire perchè in questo esercizio:
Un triangolo ABC è inscritto in una circonferenza; le misure dei lati AC e BC sono rispettivamente 5 e 3 e l'area è 6. devo determinare il raggio.
io ho svolto l'esercizio e sono arrivato ad una soluzione che è 5/2 ma nel libro me ne chiede un'altra...come devo trovarla??
Usando la formula dell'area del triangolo ti trovi il seno dell'angolo in B.
Per trovare AC ti serve il coseno dell'angolo, ma stavolta nessuno ci garantisce che l'algolo sia acuto per cui $cos hat(B)=+-sqrt (1-sin^2 hat(B))$, per cui devi risolvere due casi, uno con l'angolo acuto e il coseno positivo e l'altro con l'angolo ottuso e il coseno negativo.
Per trovare AC ti serve il coseno dell'angolo, ma stavolta nessuno ci garantisce che l'algolo sia acuto per cui $cos hat(B)=+-sqrt (1-sin^2 hat(B))$, per cui devi risolvere due casi, uno con l'angolo acuto e il coseno positivo e l'altro con l'angolo ottuso e il coseno negativo.
"amelia":
Usando la formula dell'area del triangolo ti trovi il seno dell'angolo in B.
Per trovare AC ti serve il coseno dell'angolo, ma stavolta nessuno ci garantisce che l'algolo sia acuto per cui $cos hat(B)=+-sqrt (1-sin^2 hat(B))$, per cui devi risolvere due casi, uno con l'angolo acuto e il coseno positivo e l'altro con l'angolo ottuso e il coseno negativo.
ma se AC ce l'ho già...forse intendevi che mi devo trovare AB
io ho fatto così...a partire dall'area mi sono ricavato l'angolo in C...una volta ricavato l'angolo in C mi sono ricavato anche AB in base al teorema di pitagora e poi ho usato la formula AB=2r(sin C)...e mi è uscito il raggio=5/2...ma nel libro mi dice che il raggio può essere anche (5 rad3)/4...
Non puoi usare Pitagora, dove è scritto che il triangolo è rettangolo?
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