Problema trigonometria

[lunatica]

In una circonferenza il cui raggio misure r si cosiderino due corde congruenti AM e AN tali che il seno dell'angolo acuto MAN sia uguale a 11/16. Suddividere l'arco MN, non contenete A, nei tre archi congruenti MP, PQ, QN. Calcolare la misura del quadrilatero MNPQ e il seno dell'angolo MNQ

Mi aiutereste a risolverlo??

[lunatica]

xfavore...aiutatemi...

[codino75]

per me e' veramente troppo complicato...
non hai proprio nessuna idea da cui partire?

[MaMo2]

Ponendo l'angolo AMN = 3x si ha che QMN e PMQ = x.
Dal teorema della corda si ottiene:

$MN=2rsin(3x)$, $MP=2rsinx$, $MQ=2rsin2x$

L'area del quadrilatero diventa:

$A=1/2(MN*MQsinx+MQ*MP*sinx)$

Cioè:

$A=2r^2sinxsin(2x)[sinx+sin(3x)]$

Dalle formule di duplicazione e prostaferesi si ricava:

$A=16r^2cosx^3sinx^3$

Essendo:

$sin(3x)=3sinx-4sinx^3=11/16$

Con Ruffini si trova $sinx=1/4$.

Inserendo qesto risultato l'area del quadrilatero diventa:

$A=(15sqrt(15))/256r^2$.

[Sk_Anonymous]

Applicando il teorema della corda si ha:
$MN=2rsin alpha=2r*(11)/(16)=(11)/8r$
Dalle formule di triplicazione risulta:
$sin alpha=3sin ((alpha)/3)-4sin^3((alpha)/3)$
Ovvero:
$4sin^3((alpha)/3)-3sin ((alpha)/3)+(11)/(16)=0$
Questa equazione ha le soluzioni:
$sin((alpha)/3)=1/4,sin((alpha)/3)=(-1+-sqrt(45))/8$ di cui sola la prima
e' accettabile perche' porta ad un valore di $alpha<90°$
Sempre per il teorema della corda ,si ha quindi:
$MP=PQ=QN=2rsin((alpha)/3)=2r*1/4=1/2r$
Pertanto il perimetro di MPQN e':
$2p(MPQN)=3*MP+MN=3/2r+(11)/8r=(23)/8r$
Ora e':
$cos ((alpha)/3)=sqrt(1-sin^2((alpha)/3))=sqrt(1-1/(16))=1/4sqrt(15)$
Pertanto:
$sin(MNQ)=sin(2(alpha)/3)=2sin((alpha)/3)cos ((alpha)/3)=1/8sqrt(15)$
Inoltre :
$QK=QNsin(2(alpha)/3)=1/2r*1/8sqrt(15)=1/(16)r sqrt(15)$
Ne viene che l'area del quadrilatero MPQN ( che e' poi un trapezio) e' data da :
$A_s(MPQN)=1/2(MN+PQ)*QK=1/2*((11)/8r+1/2r)*1/(16)rsqrt(15)=(15)/(256)r^2sqrt(15)$
Ho calcolato sia il perimetro che l'area di MPQN perche' non comprendo cosa intendi
dire con "misura di un quadrilatero".
karl

[cozzataddeo]

Avevo dato anch'io un occhio a questo problema e avevo trovato l'equazione di terzo grado
$4sin^3((alpha)/3)-3sin ((alpha)/3)+sin\alpha=0$
Non avendo fatto la sostituzione
$sin\alpha=11/16$
mi ero fermato a chiedermi se esisteva una formula generale (sulla scia di quelle di bisezione) che permettesse di esprimere $sin(\alpha/3)$ in funzione di $sin\alpha$ e $cos\alpha$.
Qualcuno per caso sa se una formula del genere esiste?

[Sk_Anonymous]

Che io sappia l'unica formula possibile e' quella ottenibile
risolvendo l'equazione di terzo grado indicata.
Naturalmente non si ricava niente di elementare,paragonabile
cioe' alle formule di bisezione.
Del resto ,se fosse possibile ottenere una tal formula (contenente
solo radici quadrate, ad esempio) cio' significherebbe la possibilta'
delle trisezione dell'angolo con la riga ed il compasso .Cosa impossibile
se non per angoli particolari.
karl

[cozzataddeo]

"karl":Del resto ,se fosse possibile ottenere una tal formula (contenente
solo radici quadrate, ad esempio) cio' significherebbe la possibilta'
delle trisezione dell'angolo con la riga ed il compasso .Cosa impossibile
se non per angoli particolari.
karl

Immaginavo che sotto sotto ci fosse una connessione con il problema della trisezione geometrica dell'angolo.

Grazie mille!